Η βασική τυπολογία της πιθανοθεωρίας

Με μιά στοιχειώδη διαστατική ανάλυση των βασικών εννοιών της πιθανοθεωρίας, καταλήγει κανείς στο εξής διάγραμμα:\[
\begin{matrix}
\Omega & \stackrel{e}{\longrightarrow} & \mathcal{E} \\
X\downarrow & & \downarrow Pr_X\\
\mathbb{M} & \stackrel{p_X, f_X, F_X}{\longrightarrow} & [0,1]
\end{matrix}
\]

Στρατηγικές αποτίμησης

Στη λειτουργική σημασιολογία κάθε λαμδαλογισμού, θεμελιακό ρόλο παίζουν οι στρατηγικές αποτίμησης: με ποιά σειρά αποτιμούμε τα μέρη, δηλαδή τους υποόρους ενός δοσμένου όρου;

Ας περιοριστούμε στον άτυπο λογισμό λάμδα, οπου η αναγωγή βασίζεται απλά στον κανόνα της βήτα μετατροπής\[
(\lambda_x t) t' \leadsto t\mid_{x := t'},
\]και άς πάρουμε για παράδειγμα τον όρο\[t = (\lambda_x x) ((\lambda_x x)(\lambda_y (\lambda_x x) y)).\]Με σχολική ας πούμε νοοτροπία, θα λέγαμε οτι εντάξει, κάνε τις αναγωγές με όποια σειρά σου φαίνεται πιό εύκολη. Για παράδειγμα, άλλος μπορεί να σκεφτόταν\[
\begin{align*}
t &= (\lambda_x x) (\underline{(\lambda_x x)(\lambda_y (\lambda_x x) y)})\\
&\leadsto (\lambda_x x)(\lambda_y \underline{(\lambda_x x) y})\\
&\leadsto \underline{(\lambda_x x)(\lambda_y y)}\\
&\leadsto \lambda_y  y ,
\end{align*}
\]και άλλος\[
\begin{align*}
t &= (\lambda_x x) (\underline{(\lambda_x x)(\lambda_y (\lambda_x x) y)})\\
&\leadsto \underline{(\lambda_x x)(\lambda_y (\lambda_x x) y)}\\
&\leadsto \lambda_y \underline{(\lambda_x x) y}\\
&\leadsto \lambda_y  y .
\end{align*}
\]Πώς να υλοποιήσουμε όμως μια τέτοια αποτίμηση με έναν ομοιόμορφο τρόπο;

Αφελής θεωρία αποδείξεων

Ακούγεται περίεργο, αλλα υπάρχουν άνθρωποι που κάνουν μαθηματικά στα σοβαρά, στα σχολεία και στα πανεπιστήμια, που για καιρό δέν συνειδητοποιούν οτι, απο λογική άποψη, σε όλα τα μαθηματικά υπάρχουν έξι (6) μορφές ισχυρισμών όλες κι όλες. (Σε όλα;... όχι, όχι σε όλα, αλλα άν κάποιος φτάσει να μελετάει τροπικές λογικές φερειπείν, τότε έχει ήδη πολύ καλά υπόψη του όλ' αυτά που γράφω παρακάτω.) Το αποτέλεσμα είναι να κολλάνε συχνά όταν πρωτοαντιμετωπίζουν έναν ισχυρισμό, ειδικά σε κλάδους στους οποίους δέν έχουν αναπτύξει ακόμη καλή διαίσθηση, και να μπερδεύονται, όχι γιατι ο ισχυρισμός είναι απαραίτητα βαθύς ή δύστροπος, αλλα γιατι η λογική του μορφή παραμένει γι' αυτούς ανεξιχνίαστη.

Μερίδιο της ευθύνης γι' αυτήν την έλλειψη οικειότητας με τη βασική λογική κουβαλάει η γνωστή καταδίκη του φορμαλισμού απο πολλούς ενεργούς μαθηματικούς, μία στάση που αναπόφευκτα έχει διαποτίσει και τα λογής-λογής προγράμματα σπουδών. Μα σκέψου έναν σκακιστή να σου λέει: «Σκάκι σημαίνει "τυφλό σκάκι". Ασφαλώς και μπορούμε να παίξουμε κάθε παρτίδα στη σκακιέρα, αλλα η παρτίδα υπάρχει ανεξάρτητα απ' τη σκακιέρα, άρα δέ χρειαζόμαστε κάν σκακιέρες... ΈΞΩ ΟΙ ΣΚΑΚΙΕΡΕΣ ΑΠ' ΤΟ ΣΚΑΚΙ!» Άντε πάνε να κάνεις ανάλυση μετά, για στρατηγικές των νί κινήσεων, χωρίς να στήσεις μπροστά σου τα πιόνια. Δέ λέω, η αντίποδη στάση είναι εξίσου για μπάτσες: «ναί, σε παίζω μιά παρτίδα, αλλα θα φέρω τη σκακιέρα μου, με πιόνια γαλάτες και ρωμαίους, με άλλες δέ ξέρω να παίζω...» Ο φορμαλισμός, σε πρώτη φάση, δέν είναι παρα η σκακιέρα των μαθηματικών· τίποτε παραπάνω, τίποτε λιγότερο. Και μιά και μιλάμε για διδασκαλία, μεταξύ άλλων, άς ρωτήσουμε δασκάλους του σκακιού αν ένα παιδί θα μάθει καλύτερο σκάκι αποφεύγοντας συστηματικά το παίξιμο πάνω στη σκακιέρα.

Άς ηρεμήσουμε λοιπόν, άς σταματήσουμε τους Μάνογουορ που παίζουνε στερεοφωνικά, κι' άς δούμε τις φόρμουλές μας ψύχραιμα.