Με μιά στοιχειώδη διαστατική ανάλυση των βασικών εννοιών της πιθανοθεωρίας, καταλήγει κανείς στο εξής διάγραμμα:\[
\begin{matrix}
\Omega & \stackrel{e}{\longrightarrow} & \mathcal{E} \\
X\downarrow & & \downarrow Pr_X\\
\mathbb{M} & \stackrel{p_X, f_X, F_X}{\longrightarrow} & [0,1]
\end{matrix}
\]
Το \(\Omega\) είναι ο δειγματοχώρος που επάγεται απ' το τυχαίο πείραμα ή στο οποίο βασίζεται η δειγματοληψία, \(X\) είναι η τυχαία μεταβλητή που επιλέγουμε γι' αυτό που θέλουμε να (ποσοτικοποιήσουμε και να) μελετήσουμε επι του δειγματοχώρου, που στέλνει σε μετρήσεις \(\mathbb{M}\) (και συνήθως \(\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}\), σε κάθε περίπτωση κάποιος μετρήσιμος χώρος), \(e\) είναι μία διαδικασία που επιλέγει τα αποδεκτά ενδεχόμενα ανάμεσα σ' όλα τα δυνατά υποσύνολα του δειγματοχώρου (η \(\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) είναι κάποια σίγμα άλγεβρα), και τέλος, οι \(p_X\), \(f_X\), \(F_X\) και \(Pr_X\), είναι αντίστοιχα η μάζα (για διακριτές \(X\)), η πυκνότητα (για συνεχείς \(X\)), η αθροιστική κατανομή και η κατανομή της \(X\). Η τριάδα \((\Omega, \mathcal{E}, Pr)\) συστήνει έναν χώρο πιθανότητας.
Κάθε σύνολο \(M \subseteq \mathbb{M}\) προσδιορίζει ένα ενδεχόμενο \(E_M \subseteq \mathcal{E}\), ώς εξής:\[
\omega \in E_M := X(\omega) \in M
\]Γράφουμε συχνότατα απλά «\(X \in M\)» (ή ανάλογα πράγματα) ως όρισμα στη συνάρτηση πυκνότητας \(Pr_X\), εννοώντας στην πραγματικότητα το «\(E_M\)». Στην πράξη, η τυχαία μεταβλητή δίνεται συχνά, ανάλογα, είτε μέσω της μάζας της είτε μέσω της πυκνότητάς της. Άν η τυχαία μεταβλητή \(X\) είναι διακριτή (δηλαδή με το πολύ αριθμήσιμο \(X(\Omega)\)) με μάζα \(p_X\), τότε\[
Pr_X(X \in M) = \sum_{x \in M} p_X(x)
\] και άν είναι συνεχής (δηλαδή με ύπεραριθμήσιμο \(X(\Omega)\)) με πυκνότητα \(f_X\), τότε\[
Pr_X(X \in M) = \int_{M} f_X(x) dx
\]Αυτά μπορούν να ιδωθούν κι απ' την αντίστροφη σκοπιά, οπότε έχουμε πιχί για την αθροιστική κατανομή \(F_X\) οτι\[
F_X(x) = Pr_X(X \leq x) ,
\]αλλα και φυσικά οτι\[
Pr_X(x_1 \leq X \leq x_2) = F_X(x_2) - F_X(x_1) .
\]
Για τη διαίσθηση, είναι καλό να τονιστεί οτι ενώ στη διακριτή περίπτωση ξεκινάμε ν' αποδίδουμε πιθανότητες στα μονοσύνολα \(\{x\}\) για \(x \in \mathbb{M}\) τα οποία με τη σειρά τους επάγουν τα ενδεχόμενα \(X = x\), στη συνεχή περίπτωση, πιχί για \(\mathbb{M} = \mathbb{R}\), ξεκινάμε όχι με τα μονοσύνολα (γι' αυτά η κατανομή θα πρέπει να βγάζει μηδενική πιθανότητα), αλλα με τα διαστήματα \((-\infty, x]\), τα οποία με τη σειρά τους επάγουν τα ενδεχόμενα \(X \leq x\).
Υπόψιν εδώ οτι μεγέθη όπως οι ροπές (εκτίμηση, διακύμανση, ...) ή ξερωγώ η εντροπία είναι συναρτησιακά δεύτερης τάξης, αφού εχουν τύπο \( (\Omega \to \mathbb{M}) \to \mathbb{M} \).
\begin{matrix}
\Omega & \stackrel{e}{\longrightarrow} & \mathcal{E} \\
X\downarrow & & \downarrow Pr_X\\
\mathbb{M} & \stackrel{p_X, f_X, F_X}{\longrightarrow} & [0,1]
\end{matrix}
\]
Το \(\Omega\) είναι ο δειγματοχώρος που επάγεται απ' το τυχαίο πείραμα ή στο οποίο βασίζεται η δειγματοληψία, \(X\) είναι η τυχαία μεταβλητή που επιλέγουμε γι' αυτό που θέλουμε να (ποσοτικοποιήσουμε και να) μελετήσουμε επι του δειγματοχώρου, που στέλνει σε μετρήσεις \(\mathbb{M}\) (και συνήθως \(\mathbb{M} \subseteq \mathbb{R}\), σε κάθε περίπτωση κάποιος μετρήσιμος χώρος), \(e\) είναι μία διαδικασία που επιλέγει τα αποδεκτά ενδεχόμενα ανάμεσα σ' όλα τα δυνατά υποσύνολα του δειγματοχώρου (η \(\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)\) είναι κάποια σίγμα άλγεβρα), και τέλος, οι \(p_X\), \(f_X\), \(F_X\) και \(Pr_X\), είναι αντίστοιχα η μάζα (για διακριτές \(X\)), η πυκνότητα (για συνεχείς \(X\)), η αθροιστική κατανομή και η κατανομή της \(X\). Η τριάδα \((\Omega, \mathcal{E}, Pr)\) συστήνει έναν χώρο πιθανότητας.
Κάθε σύνολο \(M \subseteq \mathbb{M}\) προσδιορίζει ένα ενδεχόμενο \(E_M \subseteq \mathcal{E}\), ώς εξής:\[
\omega \in E_M := X(\omega) \in M
\]Γράφουμε συχνότατα απλά «\(X \in M\)» (ή ανάλογα πράγματα) ως όρισμα στη συνάρτηση πυκνότητας \(Pr_X\), εννοώντας στην πραγματικότητα το «\(E_M\)». Στην πράξη, η τυχαία μεταβλητή δίνεται συχνά, ανάλογα, είτε μέσω της μάζας της είτε μέσω της πυκνότητάς της. Άν η τυχαία μεταβλητή \(X\) είναι διακριτή (δηλαδή με το πολύ αριθμήσιμο \(X(\Omega)\)) με μάζα \(p_X\), τότε\[
Pr_X(X \in M) = \sum_{x \in M} p_X(x)
\] και άν είναι συνεχής (δηλαδή με ύπεραριθμήσιμο \(X(\Omega)\)) με πυκνότητα \(f_X\), τότε\[
Pr_X(X \in M) = \int_{M} f_X(x) dx
\]Αυτά μπορούν να ιδωθούν κι απ' την αντίστροφη σκοπιά, οπότε έχουμε πιχί για την αθροιστική κατανομή \(F_X\) οτι\[
F_X(x) = Pr_X(X \leq x) ,
\]αλλα και φυσικά οτι\[
Pr_X(x_1 \leq X \leq x_2) = F_X(x_2) - F_X(x_1) .
\]
Για τη διαίσθηση, είναι καλό να τονιστεί οτι ενώ στη διακριτή περίπτωση ξεκινάμε ν' αποδίδουμε πιθανότητες στα μονοσύνολα \(\{x\}\) για \(x \in \mathbb{M}\) τα οποία με τη σειρά τους επάγουν τα ενδεχόμενα \(X = x\), στη συνεχή περίπτωση, πιχί για \(\mathbb{M} = \mathbb{R}\), ξεκινάμε όχι με τα μονοσύνολα (γι' αυτά η κατανομή θα πρέπει να βγάζει μηδενική πιθανότητα), αλλα με τα διαστήματα \((-\infty, x]\), τα οποία με τη σειρά τους επάγουν τα ενδεχόμενα \(X \leq x\).
Υπόψιν εδώ οτι μεγέθη όπως οι ροπές (εκτίμηση, διακύμανση, ...) ή ξερωγώ η εντροπία είναι συναρτησιακά δεύτερης τάξης, αφού εχουν τύπο \( (\Omega \to \mathbb{M}) \to \mathbb{M} \).
