Ακούγεται περίεργο, αλλα υπάρχουν άνθρωποι που κάνουν μαθηματικά στα σοβαρά, στα σχολεία και στα πανεπιστήμια, που για καιρό δέν συνειδητοποιούν οτι, απο λογική άποψη, σε όλα τα μαθηματικά υπάρχουν έξι (6) μορφές ισχυρισμών όλες κι όλες.
(Σε όλα;... όχι, όχι σε όλα, αλλα άν κάποιος φτάσει να μελετάει τροπικές λογικές φερειπείν, τότε έχει ήδη πολύ καλά υπόψη του όλ' αυτά
που γράφω παρακάτω.) Το αποτέλεσμα είναι να κολλάνε συχνά όταν πρωτοαντιμετωπίζουν έναν ισχυρισμό, ειδικά σε κλάδους στους οποίους δέν έχουν αναπτύξει ακόμη καλή διαίσθηση, και να μπερδεύονται, όχι γιατι ο ισχυρισμός είναι απαραίτητα βαθύς ή δύστροπος, αλλα γιατι η λογική του μορφή παραμένει γι' αυτούς ανεξιχνίαστη.
Μερίδιο της ευθύνης γι' αυτήν την έλλειψη οικειότητας με τη βασική λογική κουβαλάει η γνωστή καταδίκη του φορμαλισμού απο πολλούς ενεργούς μαθηματικούς, μία στάση που αναπόφευκτα έχει διαποτίσει και τα λογής-λογής προγράμματα σπουδών. Μα σκέψου έναν σκακιστή να σου λέει: «Σκάκι σημαίνει "τυφλό σκάκι". Ασφαλώς και μπορούμε να παίξουμε κάθε παρτίδα στη σκακιέρα, αλλα η παρτίδα υπάρχει ανεξάρτητα απ' τη σκακιέρα, άρα δέ χρειαζόμαστε κάν σκακιέρες... ΈΞΩ ΟΙ ΣΚΑΚΙΕΡΕΣ ΑΠ' ΤΟ ΣΚΑΚΙ!» Άντε πάνε να κάνεις ανάλυση μετά, για στρατηγικές των νί κινήσεων, χωρίς να στήσεις μπροστά σου τα πιόνια. Δέ λέω, η αντίποδη στάση είναι εξίσου για μπάτσες: «ναί, σε παίζω μιά παρτίδα, αλλα θα φέρω τη σκακιέρα μου, με πιόνια γαλάτες και ρωμαίους, με άλλες δέ ξέρω να παίζω...» Ο φορμαλισμός, σε πρώτη φάση, δέν είναι παρα η σκακιέρα των μαθηματικών· τίποτε παραπάνω, τίποτε λιγότερο. Και μιά και μιλάμε για διδασκαλία, μεταξύ άλλων, άς ρωτήσουμε δασκάλους του σκακιού αν ένα παιδί θα μάθει καλύτερο σκάκι αποφεύγοντας συστηματικά το παίξιμο πάνω στη σκακιέρα.
Άς ηρεμήσουμε λοιπόν, άς σταματήσουμε τους Μάνογουορ που παίζουνε στερεοφωνικά, κι' άς δούμε τις φόρμουλές μας ψύχραιμα.
Μερίδιο της ευθύνης γι' αυτήν την έλλειψη οικειότητας με τη βασική λογική κουβαλάει η γνωστή καταδίκη του φορμαλισμού απο πολλούς ενεργούς μαθηματικούς, μία στάση που αναπόφευκτα έχει διαποτίσει και τα λογής-λογής προγράμματα σπουδών. Μα σκέψου έναν σκακιστή να σου λέει: «Σκάκι σημαίνει "τυφλό σκάκι". Ασφαλώς και μπορούμε να παίξουμε κάθε παρτίδα στη σκακιέρα, αλλα η παρτίδα υπάρχει ανεξάρτητα απ' τη σκακιέρα, άρα δέ χρειαζόμαστε κάν σκακιέρες... ΈΞΩ ΟΙ ΣΚΑΚΙΕΡΕΣ ΑΠ' ΤΟ ΣΚΑΚΙ!» Άντε πάνε να κάνεις ανάλυση μετά, για στρατηγικές των νί κινήσεων, χωρίς να στήσεις μπροστά σου τα πιόνια. Δέ λέω, η αντίποδη στάση είναι εξίσου για μπάτσες: «ναί, σε παίζω μιά παρτίδα, αλλα θα φέρω τη σκακιέρα μου, με πιόνια γαλάτες και ρωμαίους, με άλλες δέ ξέρω να παίζω...» Ο φορμαλισμός, σε πρώτη φάση, δέν είναι παρα η σκακιέρα των μαθηματικών· τίποτε παραπάνω, τίποτε λιγότερο. Και μιά και μιλάμε για διδασκαλία, μεταξύ άλλων, άς ρωτήσουμε δασκάλους του σκακιού αν ένα παιδί θα μάθει καλύτερο σκάκι αποφεύγοντας συστηματικά το παίξιμο πάνω στη σκακιέρα.
Άς ηρεμήσουμε λοιπόν, άς σταματήσουμε τους Μάνογουορ που παίζουνε στερεοφωνικά, κι' άς δούμε τις φόρμουλές μας ψύχραιμα.
Λίγες προκαταρκτικές εξηγήσεις. Έκανα κάμποσα χρόνια φροντιστής σε πανεπιστήμιο (αυτό που λέν οι αγγλόφωνοι τίτσινγκ ασίσταντ), για διάφορα μαθήματα. Απο γραμμική άλγεβρα και λογισμούς έως συνθετική γεωμετρία, λογική και συναρτησιακό προγραμματισμό, για μαθηματικούς και φυσικούς, ώς στατιστικάριους και πληροφορικάριους. Τα σκοντάμματα στις αποδείξεις, όπως ήταν αναμενόμενο, έδιναν κι έπαιρναν (απο φροντιστή κι απο φοιτητές...), πολλά ομως απ' αυτά δέν αφορούσαν καθόλου το εκάστοτε διδακτέο αντικείμενο, παρα τις θεμελιακές λογικές έννοιες της απόδειξης καθαυτής: τί σημαίνει διάζευξη, τί σημαίνει ισοδυναμία, τί πρέπει να κάνω όταν μου ζητείται αντικείμενο μ' αυτήν και μ' αυτήν την ιδιότητα, και τα λοιπά. Κάποια στιγμή κατάλαβα οτι είναι καλό να ξεκινάω κάθε μάθημα με μία στοιχειώδη κουβέντα περι μαθηματικών αποδείξεων ενγένει, και να ξαναγυρνάω στο θέμα με κάθε ευκαιρία, κατελπίδαν ξεκαθαρίζοντας όσο πάει ποιό κομμάτι μιάς απόδειξης αφορά το εκάστοτε αντικείμενο, και ποιό, απλώς, τη λογική σκακιέρα. Δυστυχώς το κατάλαβα αργά, και δέν πρόλαβα να το εφαρμόσω παρα δυό-τρείς φορές. Δέ δούλεψε άσχημα, αλλα μένει να το ακονίσω περισσότερο στην πράξη, βλέπουμε (για την ώρα απέχω απο διδασκαλία). Πάντως, έτσι έγινε και έστησα έναν σκελετό σημειώσεων για το θέμα, πάνω στον οποίο βασίζονται και τα παρακάτω.
Δέ μπορώ να πώ οτι είμαι ικανοποιημένος εκατό τα εκατό απ' το κείμενο, παρά το ξαναδούλεμά του. Σίγουρα, θέλει περισσότερα και καλοδιαλεγμένα παραδείγματα, μάλιστα που ν' αντλούν και απο πιό ειδικούς μαθηματικούς χώρους, καί προχωρημένους καί σχολικούς, και όχι απλά απ' τους αριθμητικούς. Ακόμη, έχω ουσιαστικά παραβλέψει κάθε ιστορικότητα που σ' ένα βαθμό εξηγεί πολλά πράγματα (και καταρχήν, το γιατί ο φορμαλισμός έχει την όποια φήμη έχει στις μέρες μας). Επίσης, την έννοια αλήθειας την τριγυρνάω αλλα την παραμερίζω, θέλοντας να τονίσω όσο γίνεται το μηχανιστικό του πράγματος, αλλα ίσως για κάποιους (υποψιασμένους) να αποβεί μπερδευτικό. Τέλος, καθώς ελάχιστοι άθρωποι έχουν δεί το κείμενο ως έχει αυτήν τη στιγμή, πιθανότατα θά 'χουν ξεφύγει λαθάκια, αβλεψίες, πατάτες, παρανοήσεις και τέτοια, εννοείται. Σε κάθε περίπτωση, όποιος ευαρεστηθεί, ας πιάσει το τσεκούρι κι' άς ορμήσει· καλοδεχούμενη κάθε κριτική, ακόμη και κακοπροαίρετη (για μαθηματικά πρόκειται, δέν πρόκειται για τέχνη, έτσι δέ 'ναι;...).
Τώρα, ένα κίνητρο παραπάνω για να γράψω αυτά εδωπέρα μου έδωσε το όμορφο φορουμάκι μαθεμάτικα τζι άρ, που μόλις πρόσφατα ανακάλυψα. Δέν έχει καμία σχέση με το γνωστό εμπορικό προϊόν του Γούλφραμ· πρόκειται για έναν χώρο συζητήσεων (στα ελληνικά) για μαθηματικά, οπου συχνάζουν κυρίως εκπαιδευτικοί και μαθητές - φοιτητές, ο προσανατολισμός συνεπώς είναι κυρίως διδακτικός (παρά ερευνητικός). Σ' αυτόν τον χώρο λοιπόν, καθώς τον περιδιάβαζα τις τελευταίες μέρες, είδα οτι κατακαιρούς εγείρονται παρόμοιες απορίες και ανακύπτουν παρόμοιες συγχύσεις που έβλεπα όλ' αυτά τα χρόνια στις πανεπιστημιακές αίθουσες. Υπάρχουν εκεί άνθρωποι ήδη πολύ καλά υποψιασμένοι με θέματα τυπικής λογικής και απόδειξης, αλλα σκέφτηκα οτι δέ θά 'τανε κακό να ξαναδουλέψω και γώ τις παλιές μου σχετικές σημειώσεις στο ιστολόι, για όποιον ενδιαφέρεται. Πολύ περισσότερο που αυτόν τον καιρό ασχολούμαι πάλι προσωπικά με το θέμα, στην αυστηρή του εκδοχή, απ' την αρχή.
Τέλος, όσον αφορά το θέμα καθαυτό, να διευκρινίσω κάτι που ίσως δέ χρειάζεται διευκρίνιση, αλλα είναι καλό να τονιστεί: δέ μιλάω εδώ για ευρετικές μεθόδους, αλλα απλά για αποδεικτικές μεθόδους. Η μεγαλύτερη πώρωση στα μαθηματικά βέβαια αντλείται κατόπιν εφαρμογής μιάς ευρετικής, ασυναίσθητα ή μή, και δικαιολογημένα θά 'λεγε κανείς οτι εκεί ειναι το ζουμί. Δέ διαφωνώ· αλλα είμαι λίγος αυτόν τον καιρό για ν' ασχοληθώ μ' αυτό το θέμα, παρότι είναι, βρίσκω, πολύ περισσότερο ριγμένο δυστυχώς κι' απο τη θεωρία αποδείξεων, παρά τους κόπους του Γκιόργκι Πόλια και παρά καποιες παράταιρες διεθνείς εισηγήσεις φιλτζμεταλάδων (το συγκεκριμένο κείμενο του Γκάουερς, που υπάρχει ονλάιν (σε πόστσκριπτ), αξίζει τον κόπο γενικώς, και ειδικώς η ενότητα 2). Πάντως, θά 'πρεπε νά 'ναι κοινός τόπος οτι η εξοικείωση με τις αποδεικτικές μεθόδους είναι απαραίτητη για την ανάπτυξη κατάλληλης διαίσθησης, άρα και κατάλληλων ευρετικών μεθόδων.
1. Μορφές ισχυρισμών (λογική)
Μία βασική και σημαντικότατη δουλειά που καλείται λοιπόν να κάνει κάποιος στα μαθηματικά (όχι η μόνη, ούτε κάν η θεμελιακότερη, είπαμε, αλλ' αυτό 'ναι άλλη κουβέντα), είναι να αποδείξει οτι ένας ισχυρισμός \(S\) ισχύει κάτω απο κάποιες προϋποθέσεις, δηλαδή υποθέτοντας οτι κάποιοι άλλοι ισχυρισμοί ήδη ισχύουν (γράφω «\(S\)» απ' το αγγλικό "statement"). Υπάρχουν έξι μορφές όλες κι' όλες ισχυρισμών που κατα κανόνα εξετάζονται στα μαθηματικά.
1. Ο ισχυρισμός είναι μία σύζευξη όταν έχει τη μορφή \( S_1 \land S_2 \), οπου \(S_1, S_2\) είναι δύο ισχυρισμοί. Λέμε «\( S_1 \) και \( S_2 \)», «καί \( S_1 \) καί \( S_2 \)», «ισχύουν τα εξής: (α) \( S_1 \), (β) \( S_2 \)», και ούτω καθεξής.
2. Ο ισχυρισμός είναι μία διάζευξη όταν έχει τη μορφή \( S_1 \lor S_2 \), οπου \(S_1, S_2\) είναι δύο ισχυρισμοί. Λέμε «\( S_1 \) ή \( S_2 \)», «ισχύει (τουλάχιστον) ένα απο τα εξής: (α) \( S_1 \), (β) \( S_2 \)», και ούτω καθεξής.
3. Ο ισχυρισμός είναι μία συνεπαγωγή όταν έχει τη μορφή \( S_1 \to S_2 \), οπου \(S_1, S_2\) είναι δύο ισχυρισμοί. Λέμε «άν \( S_1 \) τότε \( S_2 \)», «\( S_1 \) συνεπάγεται \( S_2 \)», «με την υπόθεση \( S_1 \) ισχύει \( S_2 \)», «ας είναι \( S_1 \)· τότε \( S_2 \)», «ο \( S_1 \) είναι ικανή συνθήκη του \( S_2 \)», «ο \( S_2 \) είναι αναγκαία συνθήκη του \( S_1 \)» και τα λοιπά.
4. Ο ισχυρισμός είναι μία άρνηση όταν έχει τη μορφή \( \neg S\), οπου \( S \) είναι κάποιος ισχυρισμός. Λέμε «όχι \( S \)», «δέν ισχύει οτι \( S \)», «το \( S \) οδηγεί σε αντίφαση», «το \( S \) είναι άτοπο» και τα λοιπά.
5. Ο ισχυρισμός είναι μία καθολική ποσόδειξη όταν έχει τη μορφή \( \forall_{x \in X} S(x) \), οπου \( S(x) \) ειναι ένας ισχυρισμός που πιθανά εξαρτάται απο τη μεταβλητή \( x \), η οποία διατρέχει τα στοιχεία του χώρου \( X \). Λέμε «για κάθε \( x \) στον \( X \) ισχύει \( S(x) \)», «ας είναι \( x \) στον \( X \)· τότε \( S(x) \)», «θεωρούμε (τυχόν/αυθαίρετο) \( x \) στον \( X \)· τότε \( S(x) \)» και τα λοιπά.
6. Ο ισχυρισμός είναι μία υπαρξιακή ποσόδειξη όταν έχει τη μορφή \( \exists_{x \in X} S(x) \), οπου \( S(x) \) ειναι ένας ισχυρισμός που πιθανά εξαρτάται απο τη μεταβλητή \( x \), η οποία διατρέχει τα στοιχεία του χώρου \( X \). Λέμε «υπάρχει \( x \) στον \( X \) ωστε να ισχύει \( S(x) \)», «για (τουλάχιστον) ένα \( x \) στον \( X \) ισχύει \( S(x) \)», «για κάποια \( x \) στον \( X \) ισχύει \( S(x) \)» και τα λοιπά.
Μία ακόμη μορφή ισχυρισμού που συναντάται συχνά είναι η διπλή συνεπαγωγή, δηλαδή η μορφή \( S_1 \leftrightarrow S_2 \), οπου \( S_1 , S_2\) είναι ήδη ισχυρισμοί. Σ' αυτήν την περίπτωση λέμε «\( S_1 \) άν και μόνο άν \( S_2 \)», «\( S_1 \) συνεπάγεται \( S_2 \) και αντίστροφα», «\( S_1 \) ακριβώς όταν \( S_2 \)», «ο \( S_1 \) χαρακτηρίζει τον \( S_2 \)», «ο \( S_1 \) είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για τον \( S_2 \)», «οι \( S_1 \) και \( S_2 \) είναι ισοδύναμοι», και άλλα παρόμοια. Η διπλή συνεπαγωγή είναι προφανώς μία σύζευξη δύο συνεπαγωγών:\[ S_1 \leftrightarrow S_2 \Leftrightarrow (S_1 \to S_2) \land (S_2 \to S_1) \ ,\]δηλαδή πρόκειται για συντομογραφία και όχι για κάποια ριζικά νέα μορφή ισχυρισμού. Άλλες σχετικά συνηθισμένες συντομογραφίες είναι ο ισχυρισμός μοναδιαίας ύπαρξης\[ \exists!_{x \in X} S(x) \Leftrightarrow \exists_{x \in X} ( S(x) \land \forall_{y \in X} (S(y) \to y = x)) \ ,\]οι πολλαπλές ποσοδείξεις\[ \forall_{x, y \in X} S(x, y) \Leftrightarrow \forall_{x \in X} \forall_{y \in X}S(x,y) \ ,\]\[ \exists_{x, y \in X } S(x, y) \Leftrightarrow \exists_{x \in X} \exists_{y \in X}S(x, y) \ ,\]καθώς και οι ποσοδείξεις υπο συνθήκες\[ \forall_{x \in X \mbox{ με } S_0(x)} S(x) \Leftrightarrow \forall_{x \in X} (S_0(x) \to S(x)) \ ,\]\[ \exists_{x \in X \mbox{ με } S_0(x)} S(x) \Leftrightarrow \exists_{x \in X} (S_0(x) \land S(x)) \ .\]
Άρα λοιπόν, ξανά: υπάρχουν έξι δυνατές μορφές ισχυρισμών στα μαθηματικά: δύο ζεύξεις, δύο ποσοδείξεις, η συνεπαγωγή κι η άρνηση.
Μία παρατήρηση για τις γλωσσικές διατυπώσεις. Σε κάθε περίπτωση έγραψα επάνω πώς διατυπώνουμε συνήθως στα ελληνικά τους αντίστοιχους ισχυρισμούς. Η διατύπωση ενός ισχυρισμού με φόρμουλες (λέμε και τύπους, αλλα το αποφεύγω λόγω ιδιαίτερου κλάδου) έναντι της διατύπωσης με ελληνικές ή άλλες λέξεις, με την προϋπόθεση οτι είναι με ακρίβεια διατυπωμένες, δέν έχει παρα το προτέρημα οτι είναι πιό συμπαγής, που δέν είναι και λίγο. Πραγματολογικότερα μιλώντας, έχει επίσης το περίεργο προτέρημα οτι ωθεί να επιβραδύνουμε την ανάγνωση και να διαβάσουμε προσεχτικότερα· για τον ανυπόμονο έχει το αντίθετο, απωθητικό αποτέλεσμα, αλλα ο ανυπόμονος δέν ξέρουμε άν διαβάζει και τα ελληνικά του σωστά. Πράγματι, όταν πρόκειται για ελληνικά, διαβάζουμε συχνά σε κείμενα ή στους πίνακες διατυπώσεις του στίλ «ισχύει \(S(x)\) για \(x \in X\)»· αλλα τί παναπεί «για \(x \in X\)»;... για κάποια ή για όλα;... Θά 'ταν άκομψο ν' αλιεύσω τώρα παραδείγματα τέτοιας κάκιστης γλώσσας απο σεβαστά συγγράμματα, αλλα έτσι κι' αλλιώς, βαριέμαι κιόλας. Στην ενότητα 3 θα δούμε πάντως καθαρά πόσο κρίσιμο είναι αυτό το πρώτο βήμα στην κατανόηση ενός ποσοδεικτικού ισχυρισμού που καλούμαστε ν' αποδείξουμε, ειδικά οταν δέν έχουμε αναπτύξει ακόμη αρκετή διαίσθηση για το αντικείμενο.
2. Χώροι, βασικοί ισχυρισμοί, αξιώματα (μαθηματικά)
Βλέπει κανείς οτι τα παραπάνω εννοούνται επαγωγικά: πιχί, μία σύζευξη \( S_1 \land S_2 \) βγάζει νόημα ώς ισχυρισμός άν οι \( S_1 \), \(S_2 \) είναι ήδη ισχυρισμοί. Το ερώτημα φυσικά είναι: πώς ξεκινάει κανείς αυτήν την επαγωγική διαδικασία; μ' άλλα λόγια: ποιοί είναι οι βασικοί ισχυρισμοί πάνω στους οποίους στήνουμε άλλους, πολυπλοκότερους;
Οι βασικοί ισχυρισμοί είναι αυτοί που μεταχειρίζονται αποκλειστικά τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του χώρου στον οποίο δουλεύουμε. Πρέπει να καταλάβουμε άρα την έννοια του μαθηματικού χώρου, και να περάσουμε προστιγμήν απ' τη λογική στα μαθηματικά.
Ένας χώρος είναι μία συλλογή \( X \) απο αντικείμενα \( x, y, z, \ldots \), που τα λέμε στοιχεία του χώρου, και γράφουμε ανώνυμα \( x, y, z \in X \), μαζί με τα εξής επιπλέον δεδομένα: (α) σταθερές \(a, b, c, \ldots\) που ονομάζουν συγκεκριμένα στοιχεία του χώρου και συναρτήσεις (λέμε και πράξεις) \(f, g, h, \ldots\) που στέλνουν στοιχεία σε στοιχεία, (β) σχέσεις \(R, S, \ldots\) μεταξύ στοιχείων, και (γ) αξιώματα στα οποία υπόκεινται τα (α) και (β), δηλαδή ισχυρισμοί που απαιτούμε απο τις απεικονίσεις και τις σχέσεις να ικανοποιούν απ' τ' αποδυτήρια.
Για παράδειγμα, μία εκ των ών ούκ άνευ σχέση σε κάθε χώρο είναι η σχέση ισότητας (ή ταυτότητας) \( = \). Κάθε ισότητα θα περιμέναμε εύλογα να ικανοποιεί τουλάχιστον τους εξής ισχυρισμούς: οτι είναι ανακλαστική\[\forall_{x \in X}x = x \ ,\]συμμετρική\[\forall_{x,y \in X}(x = y \to y = x) \ ,\]και μεταβατική\[\forall_{x, y, z \in X}(x=y \land y=z \to x = z) \ .\]Πράγματι, οι παραπάνω ισχυρισμοί συγκαταλέγονται πολύ συχνά στα αξιώματα του χώρου στον οποίο δουλεύουμε.
Άλλο παράδειγμα: Στο χώρο \( \mathbb{N} \) των φυσικών αριθμών θεωρούμε τη σταθερά \( 0 \) για το μηδέν, και την απεικόνιση επόμενου \( \mathrm{succ} \) για την πράξη που στέλνει κάθε φυσικό αριθμό στον επόμενο, πιχί τον \(52\) στον \(53\). Ένας βασικός ισχυρισμός εδώ, που είναι μάλιστα ένα απο τα βασικά αξιώματα του Πεάνο για την αριθμητική, είναι οτι\[ \forall_{m \in \mathbb{N}} \neg (\mathrm{succ}(m) = 0) \ .\]Ένα ακόμη πράμα που θα θέλαμε να ισχύει εδώ είναι η συμβατότητα της ισότητας με τη συνάρτηση επόμενου:\[\forall_{x, y \in \mathbb{N}}(x = y \to \mathrm{succ}(x) = \mathrm{succ}(y)) \ .\]
Και τρίτο παράδειγμα: Στο χώρο \( \mathbb{Q} \) των ρητών αριθμών έχουμε επίσης μία σχέση διάταξης \(<\), για την οποία διατυπώνεται φερειπείν ο ισχυρισμός οτι η διάταξη είναι πυκνή:\[\forall_{x, y \in \mathbb{Q}}(x < y \to \exists_{z \in \mathbb{Q}}(x<z \land z<y))\ .\]Παρουσία της διάταξης, είναι επίσης λογικό να θέλουμε τη συμβατότητα της ισότητας μ' αυτήν:\[\forall_{x, x', y, y' \in \mathbb{N}}(x = x' \land y = y' \land x < y \to x' < y') \ .\]
Σε όλα τα παραδείγματα βλέπουμε οτι χρησιμοποιώντας ζεύξεις, ποσοδείξεις, συνεπαγωγές και αρνήσεις, πατάμε σε τελική ανάλυση πάνω σε ισχυρισμούς που σχηματίζονται απο κάποιες σχέσεις, οι οποίες νοούνται στον εκάστοτε χώρο. Ποιοί είναι λοιπόν οι βασικοί ισχυρισμοί πάνω στους οποίους στήνουμε άλλους, πολυπλοκότερους; είναι οι ισχυρισμοί της μορφής \( R(x_1, \ldots, x_m) \), οπου \(R\) είναι μία \(m\)-μελής σχέση, που αφορά δηλαδή \(m\) στοιχεία του χώρου. Πολλές συνηθισμένες σχέσεις είναι διμελείς, όπως η ισότητα και η διάταξη, υπάρχουν όμως και σχέσεις μονομελείς (πιχί «\(x\) είναι ανάγωγο κλάσμα» στο χώρο \(\mathbb{Q}\)), τριμελείς (πιχί «\(x, y, z\) είναι συνευθειακά σημεία» στον ευκλείδειο χώρο \(\mathbb{E}\)) και τα λοιπά (αμελείς σχέσεις δέ συζητάω εδωπέρα).
3. Ευθείες αποδείξεις (λογική)
Υπάρχουν όλες κι' όλες δύο γενικές μέθοδοι απόδειξης που εφαρμόζονται αναγκαστικά σε όλα τα μαθηματικά, ανεξάρτητα απ' το χώρο (τον μαθηματικό κλάδο) στον οποίο δουλεύουμε. Η μία είναι η ευθεία, ή άμεση, και η άλλη είναι η έμμεση, που κάπως παραπλανητικά λέγεται και μέθοδος με απαγωγή σε άτοπο. Ξεκινάμε με την ευθεία μέθοδο, πάνω στην οποία πατάει άλλωστε και η έμμεση, την οποία πιάνουμε στην ενότητα 5. Τέλος, με μή γενικές, ειδικές, ή εγγενείς μεθόδους απόδειξης, που αφορούν τελικά συγκεκριμένους χώρους (όταν κάνουμε πλέον μαθηματικά και όχι ξερή λογική), θα πούμε δύο λόγια παρακάτω, στην ενότητα 6.
1. Απόδειξη σύζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \land S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \(S_1\) και δείχνουμε οτι ισχύει \(S_2\).
2. Απόδειξη διάζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \lor S_2 \), είτε δείχνουμε οτι ισχύει \(S_1\), είτε δείχνουμε οτι ισχύει \(S_2\), είτε οτι ισχύει καί \(S_1\) καί \(S_2\).
3. Απόδειξη συνεπαγωγής Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \to S_2 \), υποθέτουμε οτι ισχύει \( S_1 \) και δείχνουμε οτι ισχύει \( S_2 \).
4. Απόδειξη άρνησης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \neg S\), υποθέτουμε οτι ισχύει \( S \) και δείχνουμε κάποια αντίφαση (βλέπε ενότητα 5).
5. Απόδειξη καθολικής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \forall_{x \in X} S(x) \), θεωρούμε («σταθεροποιούμε», «φιξάρουμε») ένα ανώνυμο (γενικό, οποιοδήποτε, αφηρημένο, «τυχόν», «αυθαίρετο», τζενέρικ) στοιχείο \(x\) του χώρου \(X\) και δείχνουμε οτι γι' αυτό το \(x\) ισχύει \( S(x) \).
6. Απόδειξη υπαρξιακής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι \( \exists_{x \in X} S(x) \), βρίσκουμε (εντοπίζουμε, «κατασκευάζουμε») ένα επώνυμο στοιχείο \(t\) (ένα συγκεκριμένο στοιχείο, ένα «παράδειγμα», έναν «μάρτυρα» για τον ισχυρισμό \(S\)) και δείχνουμε οτι γι' αυτό το \(t\) ισχύει \( S(t) \).
Στις τελευταίες περιπτώσεις έχουμε μπόλικα να διευκρινίσουμε, και για να το κάνουμε θα πρέπει πάλι ν' αφήσουμε καταμέρος τη λογική σκακιέρα και να δούμε τα ίδια τα μαθηματικά.
4. Ονόματα και κατασκευές στοιχείων (μαθηματικά)
Δουλεύοντας μέσα σ' έναν χώρο, μπορούμε να αναφερθούμε σε ένα στοιχείο του είτε επώνυμα, προσδιορίζοντάς το με τ' όνομά του (αν υποθέσουμε οτι του έχει ήδη δοθεί όνομα), είτε ανώνυμα, σφήνοντάς το απροσδιόριστο, αναφερόμενοι ουσιαστικά απλώς και μόνο στην ιδιότητά του να είναι στοιχείο του χώρου αυτού, και τίποτ' άλλο ιδιαίτερο. Στο \(\mathbb{N}\) για παράδειγμα, μπορούμε να πούμε, ανώνυμα, «ο αριθμός \(x\) είναι πρώτος», μπορούμε και να πούμε, επώνυμα, «ο αριθμός \(4\) είναι πρώτος» (το γνωστό «προσοχή» εδώ: όπως ενγένει στα ελληνικά, έτσι και στα μαθηματικίστικα ειδικότερα, υπάρχουν ισχυρισμοί που στέκουν όσον αφορά τη γραμματική και το συντακτικό, χωρίς απαραίτητα να στέκουν όσον αφορά το σημασιολογικό τους φορτίο).
Μ' αυτό κατανού, πάμε πίσω στις περιπτώσεις της απόδειξης ποσοδείξεων. Στην καθολική περίπτωση πρέπει να δείξουμε οτι ισχύει \(S(x)\) για ένα ανώνυμο στοιχείο \(x\)· παναπεί, να δείξουμε οτι ισχύει ανεξάρτητα απ' τ' όνομα του στοιχείου, άρα οτι ισχύει για κάθε στοιχείο (εξού και η χρήση της μεταβλητής \(x\)). Στην υπαρξιακή περίπτωση πρέπει να δείξουμε οτι ισχύει ο \(S(t)\) για ένα στοιχείο με το όνομα \(t\)· παναπεί, πρέπει να δώσουμε ένα στοιχείο ονομαστικά, να πούμε «νά, το στοιχείο με όνομα \(t\) είναι ένα παράδειγμα για τον ισχυρισμό \(S(x)\)», δηλαδή άν αντικαταστήσουμε στον ισχυρισμό \(S(x)\) το ανώνυμο \(x\) με το όνομα \(t\), ο ισχυρισμός θα αληθέψει· αυτό σημαίνει οτι πρέπει πρώτα να μάθουμε αυτό το όνομα(!), να το εντοπίσουμε, και στην πράξη, να το κατασκευάσουμε οι ίδιοι· τέλος, θα πρέπει να δείξουμε οτι όντως επαληθεύει τον ισχυρισμό \(S(x)\), οτι δηλαδή ο \(S(t)\) ισχύει.
Ήδη μιλάω επάνω για «κατασκευή ονομάτων» (και όχι πλέον ασαφώς για «κατασκευή στοιχείων»). Τί παναπεί αυτό; Κάθε χώρος \(X\) δίνει φυσιολογικούς, εγγενείς τρόπους να κατασκευάζει κανείς ονόματα για στοιχεία του: πρώτα, κάθε σταθερά \(a, b, c, \ldots\) είναι ήδη ένα όνομα· κατόπιν, άν \(f\) είναι, πές, μιά τριμελής συνάρτηση (που παίρνει δηλαδή τρία ορίσματα για ν' αποδώσει τιμή), τότε για κάθε τρία ονόματα \( t_1, t_2, t_3 \), ο όρος \( f(t_1, t_2, t_3) \) είναι ένα νέο όνομα. Για παράδειγμα, στον \(\mathbb{N}\), έχοντας τη σταθερά του μηδενός και τη συνάρτηση επόμενου, τα εγγενή ονόματα για φυσικούς αριθμούς είναι \(0, \mathrm{succ}(0), \mathrm{succ}(\mathrm{succ}(0)), \ldots\) (που ώς γνωστόν έχουν και τα αντίστοιχα χαϊδευτικά \( 0, 1, 2, \ldots \)), ενώ άν επιπλέον χρησιμοποιήσουμε κι' άλλη συνάρτηση, ας πούμε τη συνάρτηση πρόσθεσης \(+\), τότε παίρνουμε παραπάνω ονόματα για φυσικούς, όπως πιχί \(\mathrm{succ}(0) + \mathrm{succ}(\mathrm{succ}(0))\). Παρόμοια, στον κατα το κλισέ ναυτικό, που φτάνοντας σ' ένα λιμάνι για πρώτη φορά ζητάει μία διεύθυνση (βλέπε ενότητα 5 παρακάτω), μπορούμε ενγένει να δώσουμε διαφορετικές οδηγίες, όλες απ' τις οποίες θα τον οδηγήσουν στο επιθυμητό σημείο της πόλης.
Κάποιες επιπλέον παρατηρήσεις, σχετικά με τη διαίσθηση που μας παρέχει η ιδέα οτι μπορούμε ν' αναφερθούμε σε στοιχεία του χώρου είτε ανώνυμα είτε επώνυμα.
Καταρχήν, είναι φανερό οτι το ίδιο στοιχείο ενδέχεται να έχει περισσότερα απο ένα ονόματα, αφού ας πούμε οι όροι \(\mathrm{succ}(0) + \mathrm{succ}(\mathrm{succ}(0))\) και \(\mathrm{succ}(\mathrm{succ}(\mathrm{succ}(0)))\) δηλώνουν τον ίδιο αριθμό (αυτόν που λέμε χαϊδευτικά \(3\)). Αυτό βέβαια σημαίνει οτι έχουμε στη διάθεσή μας περισσότερα μέσα και περισσότερες στρατηγικές κατασκευής. Ο λόγος για τον οποίο μπορεί να συμβαίνει αυτό είναι οτι υπάρχουν αξιώματα που ταυτίζουν τα αποτελέσματα διαφορετικών κατασκευών. Στο προηγούμενο παράδειγμα, το υπεύθυνο αξίωμα κρύβεται στον επαγωγικό ορισμό της πρόσθεσης, σύμφωνα με τον οποίο έχουμε\[\forall_{x, y, \in \mathbb{N}} \mathrm{succ} (x) + y = \mathrm{succ} (x + y)\](είναι λίγο θολό να λέω «αξίωμα» για έναν ορισμό, αλλα τ' αφήνω αυτό για την ώρα). Ακολουθούν διάφορα εύλογα ερωτήματα: μπορούμε άρα να μιλάμε για οικονομικότερες κατασκευές; υπάρχουν εργαλεία (δηλαδή, επιπλέον σταθερές και συναρτήσεις) που μπορούμε να ορίσουμε ωστε να βοηθούν στις κατασκευές (ονομάτων) των στοιχείων; στέκει να μιλάμε για «κατασκευή» χρησιμοποιώντας εργαλεία μή εγγενή του χώρου (σε ποιόν χώρο δείχνουμε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας πιχί); και λοιπά.
Καταδεύτερον, μπορεί κανείς ν' αναρωτηθεί: υπάρχουν χώροι με στοιχεία που δέ μπορούν να ονοματιστούν; Προχωρημένο ερώτημα που με υπερβαίνει στο παρόν πλαίσιο, και τ' αφήνω, παραπέμποντας όμως σ' ένα σχετικό κείμενο του Αντρέι Μπάουερ.
Κατατρίτον, μπορούμε πλέον να ξεδιαλύνουμε και άλλο ένα ερώτημα. Ας είναι \(S(x)\) ένας ισχυρισμός που αφορά στοιχεία \(x\) ενός χώρου \(X\) (υποθέτω σιωπηρά οτι ο ισχυρισμός βγάζει νόημα απο άποψη συντακτικού). Επιδέχεται ο \(S\) απαραίτητα κάποιο σημασιολογικό φορτίο; μ' άλλα λόγια, είναι οπωσδήποτε τέτοιος ωστε να μπορούμε είτε να τον επαληθεύσουμε είτε να τον διαψεύσουμε;
Ας πάρουμε πάλι τα προηγούμενα παραδείγματα στον \(\mathbb{N}\) και ας είναι \(S(x)\) ο ισχυρισμός «ο αριθμός \(x\) είναι πρώτος». Τότε ο δεύτερος ισχυρισμός που κάναμε γράφεται \(S(4)\), και βέβαια μπορούμε να δείξουμε οτι δέν ισχύει (μπορούμε δηλαδή να αποδείξουμε τον ισχυρισμό \(\neg S(4)\): υποθέτοντας οτι \(S(4)\) παίρνουμε απ' τον ορισμό της έννοιας «πρώτος» οτι κάθε διαιρέτης του \(4\) είναι είτε ο \(1\) είτε ο \(4\)· αλλα νά, για παράδειγμα ο αριθμός \(2\) καί διαιρεί τον \(4\), καί διαφέρει απ' τους \(1\) και \(4\)· άρα άτοπο). Αλλα δέ μπορούμε να κάνουμε κάτι τέτοιο για τον γενικό ανώνυμο ισχυρισμό \(S(x)\)! δέ θα ξέραμε πώς να ξεκινήσουμε, η μεταβλητή ειναι απροσδιόριστη, δέ μπορούμε να προοικονομήσουμε τη συμπεριφορά της.
Ο μόνος τρόπος να αποδώσουμε αληθοτιμή στον \(S(x)\), τελικά, είναι ν' απαλείψουμε την ανωνυμία, κι' αυτό γίνεται με δύο τρόπους: (α) Ανάγοντας τον ισχυρισμό απο το ν' αφορά κάποιο ανώνυμο στοιχείο του χώρου, στο ν' αφορά κάποιο επώνυμο στοιχείο, ισχυριζόμενοι δηλαδή οτι η μεταβλητή \(x\) μπορεί να πραγματωθεί, να αντικατασταθεί απο κάποιο ονομασμένο στοιχείο (πιχί, \(4\) ή \(5\))· λέμε τότε οτι δεσμεύουμε τη μεταβλητή με υπαρξιακό ποσοδείκτη. (β) Ανάγοντας τον ισχυρισμό απο το ν' αφορά κάποιο ανώνυμο στοιχείο του χώρου, στο ν' αφορά οποιοδήποτε επώνυμο στοιχείο· τότε λέμε οτι δεσμεύουμε τη μεταβλητή με έναν καθολικό ποσοδείκτη. Μπορούμε ίσως να το δούμε και πιό τολμηρά: οι ισχυρισμοί \(\forall_{x \in \mathbb{N}}S(x)\) και \(\exists_{x \in \mathbb{N}}S(x)\) επιδέχονται αληθοτιμή, εφόσον πλέον δέν λένε «το \(x\) έχει την ιδιότητα να ειναι πρώτος», αλλα «ο χώρος \(\mathbb{N}\) έχει την ιδιότητα κάθε στοιχείο του να είναι πρώτος» και «ο χώρος \(\mathbb{N}\) έχει την ιδιότητα να περιέχει στοιχεία που είναι πρώτοι» αντίστοιχα. Η θολή ανωνυμία των μεταβλητών, που δέν επιδέχεται σημασιολογικό φορτίο, αίρεται λοιπόν αν ανάξουμε τον ισχυρισμό στο επίπεδο του (επώνυμου βέβαια) χώρου. Τέτοιοι ισχυρισμοί αντιστοιχούν, λέμε, σε κλειστές φόρμουλες.
Ωστόσο, είναι διαδεδομένη η σύμβαση (τόσο σε βιβλία λογικής όσο και σε άλλα), ν' αποφεύγει κανείς να γράφει ρητά την καθολική ποσόδειξη όπου μπορεί, για λόγους τυπογραφικού ξαλαφρώματος. Πιχί, δίνοντας τον ορισμό του χώρου \(\mathbb{G}\) μιάς ομάδας, δίνοντας πρώτα μία σταθερά \(e\) για το ουδέτερο στοιχείο και \(\cdot\) για τη διμελή πράξη της, συχνά γράφει κανείς τ' αξιώματα κλειστότητας, προσεταιριστικότητας, ουδέτερου στοιχείου και αντίστροφων στοιχείων, αντίστοιχα, ώς εξής:\[ \forall_{x, y \in \mathbb{G}} \exists_{z \in \mathbb{G}} x \cdot y = z\ ,\]\[x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \ ,\]\[x \cdot e = x = e \cdot x \ ,\]\[\forall_{x \in \mathbb{G}} \exists_{x' \in \mathbb{G}} x\cdot x' = e = x' \cdot x \ ,\]υπονοώντας οτι οι δύο ενδιάμεσοι ισχυρισμοί είναι καθολικά ποσοδειγμένοι, ακόμη κι' αν οι αντίστοιχοι ποσοδείκτες δέν εμφανίζονται ρητά στις φόρμουλες.
Αλλα καλά, υπάρχουν κι' άλλες συμβάσεις, ένα σωρό. Είναι φερειπείν πολύ συνηθισμένο να μή γράφεται ρητά ο χώρος κάτω απ' τους ποσοδείκτες. Επίσης, συχνότατα αποσιωπούνται κάποια «προφανή» αξιώματα: στο τελευταίο παράδειγμα, συνηθέστατα η κλειστότητα, μ' αποτέλεσμα για πολλούς να συσκοτίζεται μετά ο ορισμός της υποομάδας. Επίσης, αποφεύγει κανείς να γράφει τις αρνήσεις, περίπου τόσο όσο αποφεύγει κανείς στα ελληνικά να γράφει την άνω τελεία: στο αξίωμα ας πούμε του Πεάνο που είδαμε πάνω (ενότητα 2), γράφουμε συνήθως\[ \forall_{m \in \mathbb{N}} \mathrm{succ}(m) \neq 0 \ ,\]αποσιωπώντας οτι πρόκειται, ξανά, για συντομογραφία, και οτι στην πραγματικότητα δέν έχουμε δώσει στο σύμβολο \(\neq\) δική του, αυτόνομη σημασία (δηλαδή, δικό του ορισμό, ανεξάρτητο απ' της ισότητας).
Πρέπει βέβαια κανείς νά 'χει τα μάτια του ανοιχτά, με τέτοιες χάριν ευκολίας συμβάσεις, γιατ' οί παρανοήσεις τέτοιου στοιχειώδους επιπέδου καραδοκούν να μας θολώνουν και να μας στραγγαλίζουν την όποια μαθηματική μας αυτοπεποίθηση γι' απο βδομάδες έως χρόνια. Μιλάω βέβαια εκπείρας.
5. Αντιφάσεις και έμμεσες αποδείξεις (λογική)
Λέμε αντίφαση ή άτοπο, και θα γράφω εδώ \(\bot\), για κάθε ισχυρισμό που προσκρούει σε κάποιον ήδη υιοθετημένο ισχυρισμό. Πιό λεπτόλογα, ο ισχυρισμός \(\bot\) είναι αντίφαση όταν υπάρχει αξίωμα ή θεώρημα (ίσον, αποδειγμένος απ' τ' αξιώματα ισχυρισμός) \(S\), ωστε \(\bot \Rightarrow\neg S\). Στο χώρο \(\mathbb{N}\) για παράδειγμα, ο ισχυρισμός \(\exists_{x \in \mathbb{N}}\neg x = x\) αντιφάσκει στο αξίωμα \(\forall_{x \in \mathbb{N}}x=x\), ενώ ο ισχυρισμός \(\exists_{x \in \mathbb{N}} \mathrm{succ}(x) = 0\) αντιφάσκει στο αξίωμα \(\forall_{m \in \mathbb{N}} \neg (\mathrm{succ}(m) = 0)\).
Στα μαθηματικά, κατα παράδοση, δέν αφήνουμε χώρο γι' αντιφάσεις (ωστόσο η λέξη «άτοπο» δέν πηγάζει απ' αυτήν τη στάση, παρα απ' τη διαίσθηση οτι ο ισχυρισμός δέν στέκει στο χώρο για τον οποίο μιλάμε). Η ειρωνεία είναι οτι δέ μπορούμε να κάνουμε και χωρίς αυτές, όπως φαίνεται και στην ευθεία απόδειξη μιάς αρνητικής πρότασης: για ν' αποδείξουμε οτι \(\neg S\) οφείλουμε να δείξουμε οτι ισχύει η συνεπαγωγή \(S \to \bot\), για κάποια, οποιαδήποτε αντίφαση \(\bot\). (Παρεμπιπτόντως, εδώ φαίνεται καθαρά οτι όταν ένας ισχυρισμός συνεπάγεται μία αντίφαση, τότε, θεωρηματικά, είναι και ο ίδιος αντίφαση.) Οι αντιφάσεις λοιπόν δέν είναι απλά χρήσιμες κατα τη μαθηματική επιχειρηματολογία, είναι πολύ περισσότερο και αναπόφευκτες, όταν πάμε να δείξουμε αρνήσεις. Πολλές φορές όμως, ενώ δέν είναι αναπόφευκτες, αποδεικνύονται χρήσιμες σε δύσκολες περιπτώσεις, για παράδειγμα όταν τα μέσα κατασκευής που εγγενώς διαθέτει ο χώρος δέν αρκούν για να βρούμε ένα ζητούμενο στοιχείο. Επανερχόμαστε έτσι στη μελέτη ξανά της λογικής σκακιέρας.
Οι έμμεσες αποδείξεις στηρίζονται στο λογικό αξίωμα του Αριστοτέλη που είναι γνωστό ως νόμος του αποκλειόμενου μέσου (ή του αποκλειόμενου τρίτου, εννοείται «ενδεχόμενου»), κατα το οποίο για κάθε ισχυρισμό \(S\) απαιτούμε να ισχύει \(S \lor \neg S\). Για παράδειγμα, αράζει ένας ναυτικός με το καράβι για πρώτη φορά σε νέο λιμάνι, μετά 'πο πολύμηνη θαλασσοπορία, και κατα το κλισέ, το πρώτο πράμα που ρωτάει τους ντόπιους είναι «ρε παιδιά, υπάρχει μπορντέλο στην πόλη;» Ο νόμος του αποκλειόμενου μέσου επικυρώνει την εξής εξυπνακίστικη απάντηση: «κοίτα, είτε θα υπάρχει είτε δέν θα υπάρχει, δέν έχει άλλη περίπτωση· αλλα έχεις ακούσει για λιμάνι χωρίς μπορντέλο; άτοπο... άρα υπάρχει»· δέν του λέει ομως πώς να πάει εκειπέρα. Αντίθετα, μιά ντρέτη απάντηση χωρίς φιοριτούρες θα ήταν η εξής: «ναί, πάρ' αυτό το δρόμο ώς την πινακίδα, στρίψ' αριστερά, και στα τρία τετράγωνα θα δείς απέναντι το κόκκινο φαναράκι».
Ο χώρος μιάς λιμανίσιας πόλης, μπορούμε να υποθέσουμε οτι είναι «καλός», οτι παρέχει αρκετά μέσα (σοκάκια) για να κατευθύνουμε κάποιον σε κάθε δυνατό οικοδομικό τετράγωνο της περιοχής. Σε μαθηματικούς χώρους όμως τα πράγματα δέν είναι πάντα έτσι. Πολλές φορές το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να βασιστούμε στην αρχή του αποκλειόμενου μέσου και ν' αρκεστούμε στην ειρωνική βεβαιότητα οτι ένα στοιχείο υπάρχει, χωρίς να ξέρουμε πού, γιατί, και πώς, ούτε και πώς ακριβώς θα μοιάζει· χωρίς, σά να λέμε, να ξέρουμε τ' όνομά του.
Η μέθοδος της έμμεσης απόδειξης είναι η εξής: για να δείξεις οποιονδήποτε ισχυρισμό \(S\), αρκεί να δείξεις τον ισχυρισμό \(\neg \neg S\), οτι «δέν γίνεται ο ισχυρισμός \(S\) να μήν ισχύει» (μία άρνηση για το «δέν» και μία για το «μήν»), που όπως είδαμε σημαίνει να δείξεις τον ισχυρισμό \(\neg S \to \bot\), οτι «άν ο ισχυρισμός \(S\) δέν ισχύει τότε οδηγούμαστε σε αντίφαση». Πιό λεπτόλογα, η μέθοδος υποδηλώνει οτι υιοθετούμε το λογικό αξίωμα\[\neg\neg S \to S\]για κάθε ισχυρισμό \(S\) (το οποίο έχει διάφορες ονομασίες στη βιβλιογραφία: «αρχή της απόδειξης με αντίφαση», «απαγωγή σε άτοπο» ή και «αξίωμα ευστάθειας»). Θέλοντας να δείξουμε τον \(S\) λοιπόν, αρκεί να δείξουμε τη διπλή άρνησή του, \(\neg \neg S\), και τότε θ' αναλάβει το αξίωμα για να εξασφαλίσει οτι ισχύει ο \(S\).
Το σημαντικό στα παραπάνω είναι οτι δέ μιλάμε μόνο για αρνητικούς ισχυρισμούς (όπως στην περίπτωση της απόδειξης άρνησης), αλλα για κάθε μορφή ισχυρισμού \(S\). Άς το κάνουμε αυτό λιανά.
1. Έμμεση απόδειξη σύζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \land S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \((\neg S_1 \lor \neg S_2) \to \bot\).
2. Έμμεση απόδειξη διάζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \lor S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \( (\neg S_1 \land \neg S_2) \to \bot\).
3. Έμμεση απόδειξη συνεπαγωγής Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \to S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \( (S_1 \land \neg S_2) \to \bot \).
4. Η έμμεση απόδειξη άρνησης συμπίπτει με την ευθεία! Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \neg S\), δείχνουμε οτι ισχύει \( \neg \neg S \to \bot\) που όμως, με βάση το αξίωμα ευστάθειας που υιοθετήσαμε ήδη για να δουλέψουμε έμμεσα, είναι το ίδιο ακριβώς με το να δείξουμε οτι \(S \to \bot\). Η μέθοδος απόδειξης μιάς άρνησης είναι πάντα μία: η ευθεία.
5. Έμμεση απόδειξη καθολικής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \forall_{x \in X} S(x) \), δείχνουμε οτι ισχύει \( \exists_{x \in X}\neg S(x) \to \bot \).
6. Έμμεση απόδειξη υπαρξιακής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι \( \exists_{x \in X} S(x) \), δείχνουμε οτι ισχύει \( \forall_{x \in X}\neg S(x) \to \bot \).
Δουλεύοντας λοιπόν με έμμεσο τρόπο, πάντα κάνουμε μία υπόθεση (την αντίθετη απ' αυτήν που θέλουμε στην πραγματικότητα να δείξουμε) και καταλήγουμε σε άτοπο. Η διαδικασία φέρνει βέβαια τρελά στην απόδειξη της άρνησης, αλλα δέν πρέπει να τις συγχέουμε. Ξανά: υπάρχει μόνο ένας τρόπος να δείξουμε μιά άρνηση, ο ευθύς. Αντίθετα, για κάθε άλλη μορφή ισχυρισμού, άν δέν έχουμε τα μέσα ή την όρεξη να δουλέψουμε τίμια και ντρέτα (δίνοντας χειροπιαστές οδηγίες στο ναυτικό), τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε τουλάχιστον να βεβαιωθούμε οτι ο ισχυρισμός στέκει δουλεύοντας έμμεσα.
Προσοχή: Οτι καί στην περίπτωση της ευθείας απόδειξης αρνητικού ισχυρισμού καί στην περίπτωση της έμμεσης απόδειξης οποιουδήποτε ισχυρισμού, η μέθοδος οδηγεί σε άτοπο, αλλα μόνο η δεύτερη λέγεται παραδοσιακά «μέθοδος απαγωγής σε άτοπο», αυτό ειναι θά 'λεγα ιστορικό ατύχημα· το σημαντικό που πρέπει νά 'χει κάποιος κατανού, είναι οτι στην πρώτη περίπτωση δέ μπορεί ν' αποφύγει να ψάξει για αντίφαση, ενώ στη δεύτερη μπορεί να ελπίζει σε κάτι καλύτερο. («Μπορεί», αλλα «πρέπει»;... αυτό ειναι και θέμα μαθηματικής ηθικής, όχι μόνο κοινωνιολογίας ή ψυχολογίας, και τ' αφήνω ώς στην ενότητα 7.)
Και κάπου εδώ αφήνω τη στοιχειώδη αυτή μελέτη της λογικής σκακιέρας για τα καλά πλέον, και το γυρνάω για λίγο στα μαθηματικά και πάλι.
Στα μαθηματικά, κατα παράδοση, δέν αφήνουμε χώρο γι' αντιφάσεις (ωστόσο η λέξη «άτοπο» δέν πηγάζει απ' αυτήν τη στάση, παρα απ' τη διαίσθηση οτι ο ισχυρισμός δέν στέκει στο χώρο για τον οποίο μιλάμε). Η ειρωνεία είναι οτι δέ μπορούμε να κάνουμε και χωρίς αυτές, όπως φαίνεται και στην ευθεία απόδειξη μιάς αρνητικής πρότασης: για ν' αποδείξουμε οτι \(\neg S\) οφείλουμε να δείξουμε οτι ισχύει η συνεπαγωγή \(S \to \bot\), για κάποια, οποιαδήποτε αντίφαση \(\bot\). (Παρεμπιπτόντως, εδώ φαίνεται καθαρά οτι όταν ένας ισχυρισμός συνεπάγεται μία αντίφαση, τότε, θεωρηματικά, είναι και ο ίδιος αντίφαση.) Οι αντιφάσεις λοιπόν δέν είναι απλά χρήσιμες κατα τη μαθηματική επιχειρηματολογία, είναι πολύ περισσότερο και αναπόφευκτες, όταν πάμε να δείξουμε αρνήσεις. Πολλές φορές όμως, ενώ δέν είναι αναπόφευκτες, αποδεικνύονται χρήσιμες σε δύσκολες περιπτώσεις, για παράδειγμα όταν τα μέσα κατασκευής που εγγενώς διαθέτει ο χώρος δέν αρκούν για να βρούμε ένα ζητούμενο στοιχείο. Επανερχόμαστε έτσι στη μελέτη ξανά της λογικής σκακιέρας.
Οι έμμεσες αποδείξεις στηρίζονται στο λογικό αξίωμα του Αριστοτέλη που είναι γνωστό ως νόμος του αποκλειόμενου μέσου (ή του αποκλειόμενου τρίτου, εννοείται «ενδεχόμενου»), κατα το οποίο για κάθε ισχυρισμό \(S\) απαιτούμε να ισχύει \(S \lor \neg S\). Για παράδειγμα, αράζει ένας ναυτικός με το καράβι για πρώτη φορά σε νέο λιμάνι, μετά 'πο πολύμηνη θαλασσοπορία, και κατα το κλισέ, το πρώτο πράμα που ρωτάει τους ντόπιους είναι «ρε παιδιά, υπάρχει μπορντέλο στην πόλη;» Ο νόμος του αποκλειόμενου μέσου επικυρώνει την εξής εξυπνακίστικη απάντηση: «κοίτα, είτε θα υπάρχει είτε δέν θα υπάρχει, δέν έχει άλλη περίπτωση· αλλα έχεις ακούσει για λιμάνι χωρίς μπορντέλο; άτοπο... άρα υπάρχει»· δέν του λέει ομως πώς να πάει εκειπέρα. Αντίθετα, μιά ντρέτη απάντηση χωρίς φιοριτούρες θα ήταν η εξής: «ναί, πάρ' αυτό το δρόμο ώς την πινακίδα, στρίψ' αριστερά, και στα τρία τετράγωνα θα δείς απέναντι το κόκκινο φαναράκι».
Ο χώρος μιάς λιμανίσιας πόλης, μπορούμε να υποθέσουμε οτι είναι «καλός», οτι παρέχει αρκετά μέσα (σοκάκια) για να κατευθύνουμε κάποιον σε κάθε δυνατό οικοδομικό τετράγωνο της περιοχής. Σε μαθηματικούς χώρους όμως τα πράγματα δέν είναι πάντα έτσι. Πολλές φορές το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να βασιστούμε στην αρχή του αποκλειόμενου μέσου και ν' αρκεστούμε στην ειρωνική βεβαιότητα οτι ένα στοιχείο υπάρχει, χωρίς να ξέρουμε πού, γιατί, και πώς, ούτε και πώς ακριβώς θα μοιάζει· χωρίς, σά να λέμε, να ξέρουμε τ' όνομά του.
Η μέθοδος της έμμεσης απόδειξης είναι η εξής: για να δείξεις οποιονδήποτε ισχυρισμό \(S\), αρκεί να δείξεις τον ισχυρισμό \(\neg \neg S\), οτι «δέν γίνεται ο ισχυρισμός \(S\) να μήν ισχύει» (μία άρνηση για το «δέν» και μία για το «μήν»), που όπως είδαμε σημαίνει να δείξεις τον ισχυρισμό \(\neg S \to \bot\), οτι «άν ο ισχυρισμός \(S\) δέν ισχύει τότε οδηγούμαστε σε αντίφαση». Πιό λεπτόλογα, η μέθοδος υποδηλώνει οτι υιοθετούμε το λογικό αξίωμα\[\neg\neg S \to S\]για κάθε ισχυρισμό \(S\) (το οποίο έχει διάφορες ονομασίες στη βιβλιογραφία: «αρχή της απόδειξης με αντίφαση», «απαγωγή σε άτοπο» ή και «αξίωμα ευστάθειας»). Θέλοντας να δείξουμε τον \(S\) λοιπόν, αρκεί να δείξουμε τη διπλή άρνησή του, \(\neg \neg S\), και τότε θ' αναλάβει το αξίωμα για να εξασφαλίσει οτι ισχύει ο \(S\).
Το σημαντικό στα παραπάνω είναι οτι δέ μιλάμε μόνο για αρνητικούς ισχυρισμούς (όπως στην περίπτωση της απόδειξης άρνησης), αλλα για κάθε μορφή ισχυρισμού \(S\). Άς το κάνουμε αυτό λιανά.
1. Έμμεση απόδειξη σύζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \land S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \((\neg S_1 \lor \neg S_2) \to \bot\).
2. Έμμεση απόδειξη διάζευξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \lor S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \( (\neg S_1 \land \neg S_2) \to \bot\).
3. Έμμεση απόδειξη συνεπαγωγής Για να δείξουμε οτι ισχύει \( S_1 \to S_2 \), δείχνουμε οτι ισχύει \( (S_1 \land \neg S_2) \to \bot \).
4. Η έμμεση απόδειξη άρνησης συμπίπτει με την ευθεία! Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \neg S\), δείχνουμε οτι ισχύει \( \neg \neg S \to \bot\) που όμως, με βάση το αξίωμα ευστάθειας που υιοθετήσαμε ήδη για να δουλέψουμε έμμεσα, είναι το ίδιο ακριβώς με το να δείξουμε οτι \(S \to \bot\). Η μέθοδος απόδειξης μιάς άρνησης είναι πάντα μία: η ευθεία.
5. Έμμεση απόδειξη καθολικής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι ισχύει \( \forall_{x \in X} S(x) \), δείχνουμε οτι ισχύει \( \exists_{x \in X}\neg S(x) \to \bot \).
6. Έμμεση απόδειξη υπαρξιακής ποσόδειξης Για να δείξουμε οτι \( \exists_{x \in X} S(x) \), δείχνουμε οτι ισχύει \( \forall_{x \in X}\neg S(x) \to \bot \).
Δουλεύοντας λοιπόν με έμμεσο τρόπο, πάντα κάνουμε μία υπόθεση (την αντίθετη απ' αυτήν που θέλουμε στην πραγματικότητα να δείξουμε) και καταλήγουμε σε άτοπο. Η διαδικασία φέρνει βέβαια τρελά στην απόδειξη της άρνησης, αλλα δέν πρέπει να τις συγχέουμε. Ξανά: υπάρχει μόνο ένας τρόπος να δείξουμε μιά άρνηση, ο ευθύς. Αντίθετα, για κάθε άλλη μορφή ισχυρισμού, άν δέν έχουμε τα μέσα ή την όρεξη να δουλέψουμε τίμια και ντρέτα (δίνοντας χειροπιαστές οδηγίες στο ναυτικό), τότε μπορούμε να δοκιμάσουμε τουλάχιστον να βεβαιωθούμε οτι ο ισχυρισμός στέκει δουλεύοντας έμμεσα.
Προσοχή: Οτι καί στην περίπτωση της ευθείας απόδειξης αρνητικού ισχυρισμού καί στην περίπτωση της έμμεσης απόδειξης οποιουδήποτε ισχυρισμού, η μέθοδος οδηγεί σε άτοπο, αλλα μόνο η δεύτερη λέγεται παραδοσιακά «μέθοδος απαγωγής σε άτοπο», αυτό ειναι θά 'λεγα ιστορικό ατύχημα· το σημαντικό που πρέπει νά 'χει κάποιος κατανού, είναι οτι στην πρώτη περίπτωση δέ μπορεί ν' αποφύγει να ψάξει για αντίφαση, ενώ στη δεύτερη μπορεί να ελπίζει σε κάτι καλύτερο. («Μπορεί», αλλα «πρέπει»;... αυτό ειναι και θέμα μαθηματικής ηθικής, όχι μόνο κοινωνιολογίας ή ψυχολογίας, και τ' αφήνω ώς στην ενότητα 7.)
Και κάπου εδώ αφήνω τη στοιχειώδη αυτή μελέτη της λογικής σκακιέρας για τα καλά πλέον, και το γυρνάω για λίγο στα μαθηματικά και πάλι.
6. Αξιώματα και εγγενείς αποδεικτικές μέθοδοι (μαθηματικά)
Είπαμε στην ενότητα 2 οτι ένας μαθηματικός χώρος είναι μία συλλογή απο στοιχεία, στα οποία αναφερόμαστε ανώνυμα χρησιμοποιώντας μεταβλητές, τα οποία ονοματοδοτούνται απο σταθερές και πράξεις, και μπορούν μεταξύ τους να υπόκεινται σε συγκεκριμένες σχέσεις (αν μή τι άλλο, συνήθως στην ισότητα). Και όλ' αυτά υπόκεινται σε συγκεκριμένους νόμους ή αξιώματα που διέπουν το χώρο.
Μπορούμε να πούμε οτι τα αξιώματα έχουν την έννοια οτι περιγράφουν το μαθηματικό χώρο τον οποίο έχουμε κατανού· άν τύχει λοιπόν και συναντήσουμε κάποιο σύνολο με στοιχεία που ταιριάζουν στις σταθερές, πράξεις και σχέσεις του χώρου που έχουμε κατανού, αλλα δέν ικανοποιούν κάποιο απ' τ' αξιώματα, ε τότε λέμε οτι η συλλογή αυτή δέν δομείται ως ο μαθηματικός χώρος που θέλουμε. Μ' αυτήν την (ομολογουμένως φτηνή) έννοια είναι που λέμε οτι «τα αξιώματα για έναν χώρο είναι αυταπόδεικτα»· αξιώνουν, το σύνολο με τις σταθερές, τις πράξεις και τις σχέσεις του, που είναι υποψήφιο για τον τίτλο «χώρος τάδε», να έχει τις ιδιότητες που αυτά περιγράφουν· άν κάποια απ' αυτές δεν ικανοποιείται, τότε το σύνολο, εξορισμού, δέν είναι άξιο να φέρει τον τίτλο.
Απο την άλλη, το ζήτημα του αυταπόδεικτου των αξιώματων παύει να είναι φτηνό, όταν κανείς προσπαθεί να ταιριάσει μία μαθηματική δομή (άλλο ένα όνομα, παρμένο απ' τη λογική, για τον μαθηματικό χώρο) σε μία φυσική δομή. Για παράδειγμα, τα αξιώματα του Ευκλείδη για τη γεωμετρία παύουν να είναι αυταπόδεικτα εάν πάρουμε την ετυμολογία της λέξης στα σοβαρά. Επίσης, η μαθηματική περιγραφή της έννοιας «αλγόριθμος» της παράδοσης Τιούρινγκ, ακόμα θεωρείται απο αρκετούς οτι δέν είν' οριστική. Γενικά, κάθε μαθηματικοποίηση είναι στην απαρχή της μιά εξωμαθηματικά πολιτική πράξη, με ότι αυτό συνεπάγεται. Εάν η μαθηματικοποίηση καταλήξει σε κάποιον ευσταθή μαθηματικό χώρο, τότε τα πνεύματα καταλαγιάζουν, και τ' αξιώματα του χώρου θεωρούνται πλέον προφανή με τη φτηνή έννοια. Ώσπου ίσως η φυσική, η βιολογία, η πληροφορική, ή κάποια άλλη ρεαλιστική επιστήμη, να αναγκάσει σε επανεξέταση. (Άν η λογική προσφέρεται για σκακιέρα των μαθηματικών, τα μαθηματικά προσφέρονται για σκακιέρα άλλων επιστημών, και είναι καλό να έχουμε υπόψη το παράδοξο με την ψευδαίσθηση οτι «εντός σκακιέρας δέν νοείται πολιτική».)
Αυτά όσον αφορά την διαίσθηση και τα αμπελοφιλοσοφικά. Το σημαντικό στα αξιώματα του χώρου, όσον αφορά το θέμα μας, είναι οτι με το να ρυθμίζουν τη συμπεριφορά των συστατικών του χώρου, προσφέρουν ταυτόχρονα και ειδικές, εγγενείς αποδεικτικές μεθόδους, οι οποίες αφορούν κάθε παράδειγμα τέτοιου χώρου, χωρίς να μπορούν να εφαρμοστούν απαραίτητα σε άλλους χώρους, με διαφορετικά αξιώματα. Μπορούμε να το πούμε αυτό και ώς εξής: υιοθετώντας επιπλέον αξιώματα για έναν συγκεκριμένο χώρο, επεκτείνουμε την αυστηρά λογική σκακιέρα (όχι μόνο με τετράγωνα, αλλα και με πιόνια και με νέες κινήσεις και λοιπά). Αυτό σημαίνει, στην μαθηματική πράξη, οτι τα αξιώματα του χώρου συγκαταλλέγονται στις υποθέσεις που διαθέτουμε προκειμένου να δείξουμε κάποιον ισχυρισμό για το χώρο.
Δίνω εδώ δύο παραδείγματα.
Το αξίωμα της μαθηματικής επαγωγής για φυσικούς αριθμούς:\[S(0) \land \forall_{x \in \mathbb{N}}(S(x) \to S(\mathrm{succ}(x))) \to \forall_{x \in \mathbb{N}}S(x) \ ,\]οπου \(S(x)\) είναι ένας οποιοσδήποτε ισχυρισμός για κάποιον φυσικό αριθμό \(x\).
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής βασίζεται στο πάνω αξίωμα, και λέει το εξής: για να δείξουμε οτι ισχύει \(\forall_{x \in \mathbb{N}}S(x)\), δείχνουμε οτι ισχύει \(S(0)\) (τη βάση της επαγωγής), και δείχνουμε οτι ισχύει \(\forall_{x \in \mathbb{N}}(S(x) \to S(\mathrm{succ}(x)))\) (το επαγωγικό βήμα). Άν δείξουμε αυτή τη σύζευξη, αναλαμβάνει κατόπιν το αξίωμα της επαγωγής και μας δίνει την καθολική ποσόδειξη που θέλουμε.
Αυτή η μέθοδος είναι λοιπόν μία εναλλακτική (ευθεία) μέθοδος απόδειξης καθολικών ισχυρισμών, στην περίπτωση που ο χώρος μας είναι το σύστημα των φυσικών αριθμών. Σε άλλους χώρους, οπου το αξίωμα της επαγωγής δέν ικανοποιείται, οπως πιχί στο χώρο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών, η μέθοδος της επαγωγής δέν εφαρμόζεται. Επίσης, είναι καλό να δώσουμε επιπλέον έμφαση στο «εναλλακτική μέθοδος»: υπάρχει περίπτωση μία καθολική ποσόδειξη στους φυσικούς να επιδέχεται απόδειξη με την γενική ευθεία μέθοδο, και η απόδειξη να κρίνεται για διάφορους λόγους προτιμότερη (ξερωγώ, «ευκολότερη», συντομότερη, και λοιπά) απ' ότι μιά απόδειξη με επαγωγή. Όπως και νά 'χει, καθώς ο χώρος των φυσικών αριθμών είναι χώρος τα στοιχεία του οποίου ορίζονται επαγωγικά, μία επαγωγική απόδειξη είναι κατα κανόνα τυφλοσούρτης (με την απαιτούμενη εμπειρία), και επιπλέον περισσότερο πληροφοριακή. Ακόμη, είναι πολλές φορές αναπόφευκτη, ειδικά οταν πάμε πιχί να δείξουμε ισχυρισμούς για συναρτήσεις που είναι οι ίδιες επαγωγικά ορισμένες, και για τις οποίες δέν έχουμε διαθέσιμη κλειστή μορφή.
Απ' τα σημαντικότερα αξιώματα για τους πραγματικούς αριθμούς είναι το αξίωμα πληρότητας, γνωστό και ώς αξίωμα άνω πέρατος. Αντιλαμβανόμενοι τον ισχυρισμό \(P(x)\) να εκφράζει οτι «ο αριθμός \(x\) ανήκει στο σύνολο που ορίζεται απο το κατηγόρημα \(P(x)\)» και ορίζοντας το άνω πέρας του με τη φόρμουλα\[y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid S(x)\} \Leftrightarrow \forall_{x, P(x)}x\leq y_0 \land \forall_{y \in \mathbb{R}}(\forall_{x, P(x)}x \leq y \to y_0 \leq y) \ ,\]το αξίωμα διατυπώνεται ώς εξής:\[\exists_{x \in \mathbb{R}}P(x) \land \exists_{y \in \mathbb{R}} \forall_{x, P(x)}x \leq y \to \exists_{y_0 \in \mathbb{R}}y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\} \ ,\]και απαιτεί δηλαδή, για κάθε μή κενο σύνολο \(P\), να έχει άνω πέρας όταν είναι άνω φραγμένο.
Η μέθοδος της απόδειξης με πληρότητα (δόκιμος όρος) είναι τότε η εξής: για να δείξουμε οτι \(\exists_{x \in \mathbb{R}}S(x)\), βρίσκουμε ένα κατηγόρημα (μία ιδιότητα, έναν ισχυρισμό) \(P(x)\) έτσι ωστε\[S(y_0) \Leftrightarrow y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\} \ ,\]και δείχνουμε οτι το σύνολο που ορίζεται απο το κατηγόρημα \(P(x)\) είναι μή κενο και άνω φραγμένο. Έχοντας δείξει αυτά, αναλαμβάνει το αξίωμα πληρότητας για να μας εξασφαλίσει οτι υπάρχει πράγματι ο πραγματικός \(y_0\) με τη ζητούμενη ιδιότητα.
Και πάλι, αυτή η μέθοδος δέ δουλεύει σε άλλους, μή πλήρεις χώρους, όπως για παράδειγμα ο χώρος \(\mathbb{Q}\) των ρητών αριθμών ή ακόμη ο χώρος \(\mathbb{C}\) των μιγαδικών αριθμών (καλά, στους μιγαδικούς δέν έχουμε κάν φυσιολογική διάταξη, οπότε το αξίωμα δέ βγάζει κάν νόημα). Παρατήρηση εδώ είναι οτι οι αποδείξεις με πληρότητα προσφέρονται ιδιαίτερα για μοναδιαίες ποσοδείξεις, καθώς τα άνω πέρατα στον \(\mathbb{R}\) είναι μοναδικά. Για το πόσο σημαντική είναι η μέθοδος που μας προσφέρει το αξίωμα πληρότητας, αρκεί κανείς να κοιτάξει ας πούμε στην αγγλική Γουικιπίντια.
Πολύ αδρά μιλώντας, το να πάρεις στα σοβαρά την αίσθηση του ανικανοποίητου που αφήνει μία έμμεση απόδειξη, ωστε ν' αποφεύγεις όσο μπορείς τέτοια επιχειρήματα, είναι να κάνεις αυτό που λέμε κατασκευαστικά μαθηματικά. Η αποφυγή του αριστοτελικού αποκλειόμενου μέσου αφορά ουσιαστικά κυρίως τις αποδείξεις διάζευξης (δέ θέλω να ξέρω απλά οτι κάποιο απ' τα δυό ενδεχόμενα ισχύει, αλλα και ποιό απ' τα δύο) και υπαρξιακής ποσόδειξης (δέ θέλω να ξέρω απλά οτι δέ γίνεται να μήν υπάρχει στοιχείο με τη ζητούμενη ιδιότητα, αλλα θέλω να έχω και απτά παραδείγματα τέτοιων στοιχείων).
Δέν θα το σκοτώσω στις φιλοσοφίες εδώ, και ούτε νομίζω 'τι υπάρχουνε πολλοί στην κατασκευαστική πιάτσα που να το παίρνουν πατριωτικά το θέμα, πάντως ήδη έτσι χαλαρά που το πιάνω το ζήτημα εδώ, βλέπει κανείς οτι η πληροφορία που παρέχει μία άμεση απόδειξη είναι μαθηματικά προτιμότερη. Αλλά, «προτιμότερη» δέ σημαίνει πάντα και «εφικτή». Είναι, βεβαίως, βλακεία να λές «όχι» στα ιδεαλιστικά επιχειρήματα όταν δέ μπορείς να κάνεις κάτι καλύτερο, έτσι απλά απο γινάτι ή απο ημιμαθή στράτευση. Απ' την άλλη, το να σνομπάρεις την κατασκευαστική λύση ενώ είναι εφικτή, απ' ότι έχω δεί, μπορεί να είναι αρτηριοσκλήρωση, μπορεί να είναι και φυγοπονία, συνήθως πάντως είναι ελλιπής ή στρεβλή ενημέρωση, αλα Χατζηνικολάου (ναί, τον γνωστό τηλεξουσιαστή εννοώ, όχι κάποιον μαθηματικό).
Για το κομοδίνο ή την τουαλέτα συνιστώ τον πρόλογο του Έρετ Μπίσοπ στο απίστευτο [Bishop 1967] -υπάρχει και στη δεύτερη, επεκταμένη έκδοση [Bishop, Bridges 1985]. Το τελευταίο θεωρείται ακόμα η στάνταρ εισαγωγή στην κατασκευαστική ανάλυση, ενώ για κάτι ανάλογο στην άλγεβρα μπορεί κανείς να κοιτάξει το [Mines, Richman, Ruitenburg 1988]. Τα πράγματα βέβαια απ' τη δεκαετία του ογδόντα έχουν προχωρήσει. Έως πάρα πολύ. Μάλιστα, κάποιες μοντέρνες και καλές σχετικές σκληράδες, στα ελληνικά, μπορεί να βρεί κανείς στο πολύ ενδιαφέρον [Αναπολιτάνος (επιμ.) 2009].
Όσο για τη θεωρία αποδείξεων σε μή αφελές πιά επίπεδο, αλλα εισαγωγικό, απο ελληνική σχετική βιβλιογραφία δέ γνωρίζω πολλά. Ξέρω οτι υπάρχει το εγχειρίδιο του [Μπόριτσιτς 1995] για θεωρία αποδείξεων, που άν και το θαυμάζω για τ' οτι υπάρχει --έμ στα ελληνικά, έμ απο γιουγκοσλάβο (μαυροβουνιώτη)!... ρισπέκτ-- ωστόσο δέ με είχε βοηθήσει και πολύ όταν το πρωτόπιασα ανυποψίαστος· έχω στο μεταξύ και χρόνια να το κοιτάξω, οπότε ούτε θυμάμαι καλά-καλά τι περιέχει ακριβώς (άν με το καλό ξανανταμώσω την ξενιτεμένη βιβλιοθήκη μου ίσως το πιάσω και εδώ). Κατα τ' άλλα, ίσως να υπάρχουν σημειώσεις απο ανάλογα μαθήματα ονλάιν, πάντως δέν έχω πέσει πάνω τους προσωπικά (άμα βρώ στο μεταξύ θα δώσω λίνκ). Στ' αγγλικά απ' την άλλη, υπάρχει πλέον ο αρκετά εξαντλητικός «οδηγός αυτομόρφωσης» του Πίτερ Σμίθ, στον οποίο και παραπέμπω με συνοπτικές (συγκεκριμένα στην ενότητα 7.1).
Δίνω εδώ δύο παραδείγματα.
6.1. Απόδειξη καθολικής ποσόδειξης στον \(\mathbb{N}\) με μαθηματική επαγωγή
Το αξίωμα της μαθηματικής επαγωγής για φυσικούς αριθμούς:\[S(0) \land \forall_{x \in \mathbb{N}}(S(x) \to S(\mathrm{succ}(x))) \to \forall_{x \in \mathbb{N}}S(x) \ ,\]οπου \(S(x)\) είναι ένας οποιοσδήποτε ισχυρισμός για κάποιον φυσικό αριθμό \(x\).
Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής βασίζεται στο πάνω αξίωμα, και λέει το εξής: για να δείξουμε οτι ισχύει \(\forall_{x \in \mathbb{N}}S(x)\), δείχνουμε οτι ισχύει \(S(0)\) (τη βάση της επαγωγής), και δείχνουμε οτι ισχύει \(\forall_{x \in \mathbb{N}}(S(x) \to S(\mathrm{succ}(x)))\) (το επαγωγικό βήμα). Άν δείξουμε αυτή τη σύζευξη, αναλαμβάνει κατόπιν το αξίωμα της επαγωγής και μας δίνει την καθολική ποσόδειξη που θέλουμε.
Αυτή η μέθοδος είναι λοιπόν μία εναλλακτική (ευθεία) μέθοδος απόδειξης καθολικών ισχυρισμών, στην περίπτωση που ο χώρος μας είναι το σύστημα των φυσικών αριθμών. Σε άλλους χώρους, οπου το αξίωμα της επαγωγής δέν ικανοποιείται, οπως πιχί στο χώρο \(\mathbb{R}\) των πραγματικών αριθμών, η μέθοδος της επαγωγής δέν εφαρμόζεται. Επίσης, είναι καλό να δώσουμε επιπλέον έμφαση στο «εναλλακτική μέθοδος»: υπάρχει περίπτωση μία καθολική ποσόδειξη στους φυσικούς να επιδέχεται απόδειξη με την γενική ευθεία μέθοδο, και η απόδειξη να κρίνεται για διάφορους λόγους προτιμότερη (ξερωγώ, «ευκολότερη», συντομότερη, και λοιπά) απ' ότι μιά απόδειξη με επαγωγή. Όπως και νά 'χει, καθώς ο χώρος των φυσικών αριθμών είναι χώρος τα στοιχεία του οποίου ορίζονται επαγωγικά, μία επαγωγική απόδειξη είναι κατα κανόνα τυφλοσούρτης (με την απαιτούμενη εμπειρία), και επιπλέον περισσότερο πληροφοριακή. Ακόμη, είναι πολλές φορές αναπόφευκτη, ειδικά οταν πάμε πιχί να δείξουμε ισχυρισμούς για συναρτήσεις που είναι οι ίδιες επαγωγικά ορισμένες, και για τις οποίες δέν έχουμε διαθέσιμη κλειστή μορφή.
6.2. Απόδειξη υπαρξιακής ποσόδειξης στον \(\mathbb{R}\) με πληρότητα
Απ' τα σημαντικότερα αξιώματα για τους πραγματικούς αριθμούς είναι το αξίωμα πληρότητας, γνωστό και ώς αξίωμα άνω πέρατος. Αντιλαμβανόμενοι τον ισχυρισμό \(P(x)\) να εκφράζει οτι «ο αριθμός \(x\) ανήκει στο σύνολο που ορίζεται απο το κατηγόρημα \(P(x)\)» και ορίζοντας το άνω πέρας του με τη φόρμουλα\[y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid S(x)\} \Leftrightarrow \forall_{x, P(x)}x\leq y_0 \land \forall_{y \in \mathbb{R}}(\forall_{x, P(x)}x \leq y \to y_0 \leq y) \ ,\]το αξίωμα διατυπώνεται ώς εξής:\[\exists_{x \in \mathbb{R}}P(x) \land \exists_{y \in \mathbb{R}} \forall_{x, P(x)}x \leq y \to \exists_{y_0 \in \mathbb{R}}y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\} \ ,\]και απαιτεί δηλαδή, για κάθε μή κενο σύνολο \(P\), να έχει άνω πέρας όταν είναι άνω φραγμένο.
Η μέθοδος της απόδειξης με πληρότητα (δόκιμος όρος) είναι τότε η εξής: για να δείξουμε οτι \(\exists_{x \in \mathbb{R}}S(x)\), βρίσκουμε ένα κατηγόρημα (μία ιδιότητα, έναν ισχυρισμό) \(P(x)\) έτσι ωστε\[S(y_0) \Leftrightarrow y_0 = \sup\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\} \ ,\]και δείχνουμε οτι το σύνολο που ορίζεται απο το κατηγόρημα \(P(x)\) είναι μή κενο και άνω φραγμένο. Έχοντας δείξει αυτά, αναλαμβάνει το αξίωμα πληρότητας για να μας εξασφαλίσει οτι υπάρχει πράγματι ο πραγματικός \(y_0\) με τη ζητούμενη ιδιότητα.
Και πάλι, αυτή η μέθοδος δέ δουλεύει σε άλλους, μή πλήρεις χώρους, όπως για παράδειγμα ο χώρος \(\mathbb{Q}\) των ρητών αριθμών ή ακόμη ο χώρος \(\mathbb{C}\) των μιγαδικών αριθμών (καλά, στους μιγαδικούς δέν έχουμε κάν φυσιολογική διάταξη, οπότε το αξίωμα δέ βγάζει κάν νόημα). Παρατήρηση εδώ είναι οτι οι αποδείξεις με πληρότητα προσφέρονται ιδιαίτερα για μοναδιαίες ποσοδείξεις, καθώς τα άνω πέρατα στον \(\mathbb{R}\) είναι μοναδικά. Για το πόσο σημαντική είναι η μέθοδος που μας προσφέρει το αξίωμα πληρότητας, αρκεί κανείς να κοιτάξει ας πούμε στην αγγλική Γουικιπίντια.
7. Κατασκευαστικά και μή κατασκευαστικά μαθηματικά, και παραπομπές
Πολύ αδρά μιλώντας, το να πάρεις στα σοβαρά την αίσθηση του ανικανοποίητου που αφήνει μία έμμεση απόδειξη, ωστε ν' αποφεύγεις όσο μπορείς τέτοια επιχειρήματα, είναι να κάνεις αυτό που λέμε κατασκευαστικά μαθηματικά. Η αποφυγή του αριστοτελικού αποκλειόμενου μέσου αφορά ουσιαστικά κυρίως τις αποδείξεις διάζευξης (δέ θέλω να ξέρω απλά οτι κάποιο απ' τα δυό ενδεχόμενα ισχύει, αλλα και ποιό απ' τα δύο) και υπαρξιακής ποσόδειξης (δέ θέλω να ξέρω απλά οτι δέ γίνεται να μήν υπάρχει στοιχείο με τη ζητούμενη ιδιότητα, αλλα θέλω να έχω και απτά παραδείγματα τέτοιων στοιχείων).
Δέν θα το σκοτώσω στις φιλοσοφίες εδώ, και ούτε νομίζω 'τι υπάρχουνε πολλοί στην κατασκευαστική πιάτσα που να το παίρνουν πατριωτικά το θέμα, πάντως ήδη έτσι χαλαρά που το πιάνω το ζήτημα εδώ, βλέπει κανείς οτι η πληροφορία που παρέχει μία άμεση απόδειξη είναι μαθηματικά προτιμότερη. Αλλά, «προτιμότερη» δέ σημαίνει πάντα και «εφικτή». Είναι, βεβαίως, βλακεία να λές «όχι» στα ιδεαλιστικά επιχειρήματα όταν δέ μπορείς να κάνεις κάτι καλύτερο, έτσι απλά απο γινάτι ή απο ημιμαθή στράτευση. Απ' την άλλη, το να σνομπάρεις την κατασκευαστική λύση ενώ είναι εφικτή, απ' ότι έχω δεί, μπορεί να είναι αρτηριοσκλήρωση, μπορεί να είναι και φυγοπονία, συνήθως πάντως είναι ελλιπής ή στρεβλή ενημέρωση, αλα Χατζηνικολάου (ναί, τον γνωστό τηλεξουσιαστή εννοώ, όχι κάποιον μαθηματικό).
Για το κομοδίνο ή την τουαλέτα συνιστώ τον πρόλογο του Έρετ Μπίσοπ στο απίστευτο [Bishop 1967] -υπάρχει και στη δεύτερη, επεκταμένη έκδοση [Bishop, Bridges 1985]. Το τελευταίο θεωρείται ακόμα η στάνταρ εισαγωγή στην κατασκευαστική ανάλυση, ενώ για κάτι ανάλογο στην άλγεβρα μπορεί κανείς να κοιτάξει το [Mines, Richman, Ruitenburg 1988]. Τα πράγματα βέβαια απ' τη δεκαετία του ογδόντα έχουν προχωρήσει. Έως πάρα πολύ. Μάλιστα, κάποιες μοντέρνες και καλές σχετικές σκληράδες, στα ελληνικά, μπορεί να βρεί κανείς στο πολύ ενδιαφέρον [Αναπολιτάνος (επιμ.) 2009].
Όσο για τη θεωρία αποδείξεων σε μή αφελές πιά επίπεδο, αλλα εισαγωγικό, απο ελληνική σχετική βιβλιογραφία δέ γνωρίζω πολλά. Ξέρω οτι υπάρχει το εγχειρίδιο του [Μπόριτσιτς 1995] για θεωρία αποδείξεων, που άν και το θαυμάζω για τ' οτι υπάρχει --έμ στα ελληνικά, έμ απο γιουγκοσλάβο (μαυροβουνιώτη)!... ρισπέκτ-- ωστόσο δέ με είχε βοηθήσει και πολύ όταν το πρωτόπιασα ανυποψίαστος· έχω στο μεταξύ και χρόνια να το κοιτάξω, οπότε ούτε θυμάμαι καλά-καλά τι περιέχει ακριβώς (άν με το καλό ξανανταμώσω την ξενιτεμένη βιβλιοθήκη μου ίσως το πιάσω και εδώ). Κατα τ' άλλα, ίσως να υπάρχουν σημειώσεις απο ανάλογα μαθήματα ονλάιν, πάντως δέν έχω πέσει πάνω τους προσωπικά (άμα βρώ στο μεταξύ θα δώσω λίνκ). Στ' αγγλικά απ' την άλλη, υπάρχει πλέον ο αρκετά εξαντλητικός «οδηγός αυτομόρφωσης» του Πίτερ Σμίθ, στον οποίο και παραπέμπω με συνοπτικές (συγκεκριμένα στην ενότητα 7.1).
