Αφελής θεωρία αποδείξεων

Ακούγεται περίεργο, αλλα υπάρχουν άνθρωποι που κάνουν μαθηματικά στα σοβαρά, στα σχολεία και στα πανεπιστήμια, που για καιρό δέν συνειδητοποιούν οτι, απο λογική άποψη, σε όλα τα μαθηματικά υπάρχουν έξι (6) μορφές ισχυρισμών όλες κι όλες. (Σε όλα;... όχι, όχι σε όλα, αλλα άν κάποιος φτάσει να μελετάει τροπικές λογικές φερειπείν, τότε έχει ήδη πολύ καλά υπόψη του όλ' αυτά που γράφω παρακάτω.) Το αποτέλεσμα είναι να κολλάνε συχνά όταν πρωτοαντιμετωπίζουν έναν ισχυρισμό, ειδικά σε κλάδους στους οποίους δέν έχουν αναπτύξει ακόμη καλή διαίσθηση, και να μπερδεύονται, όχι γιατι ο ισχυρισμός είναι απαραίτητα βαθύς ή δύστροπος, αλλα γιατι η λογική του μορφή παραμένει γι' αυτούς ανεξιχνίαστη.

Μερίδιο της ευθύνης γι' αυτήν την έλλειψη οικειότητας με τη βασική λογική κουβαλάει η γνωστή καταδίκη του φορμαλισμού απο πολλούς ενεργούς μαθηματικούς, μία στάση που αναπόφευκτα έχει διαποτίσει και τα λογής-λογής προγράμματα σπουδών. Μα σκέψου έναν σκακιστή να σου λέει: «Σκάκι σημαίνει "τυφλό σκάκι". Ασφαλώς και μπορούμε να παίξουμε κάθε παρτίδα στη σκακιέρα, αλλα η παρτίδα υπάρχει ανεξάρτητα απ' τη σκακιέρα, άρα δέ χρειαζόμαστε κάν σκακιέρες... ΈΞΩ ΟΙ ΣΚΑΚΙΕΡΕΣ ΑΠ' ΤΟ ΣΚΑΚΙ!» Άντε πάνε να κάνεις ανάλυση μετά, για στρατηγικές των νί κινήσεων, χωρίς να στήσεις μπροστά σου τα πιόνια. Δέ λέω, η αντίποδη στάση είναι εξίσου για μπάτσες: «ναί, σε παίζω μιά παρτίδα, αλλα θα φέρω τη σκακιέρα μου, με πιόνια γαλάτες και ρωμαίους, με άλλες δέ ξέρω να παίζω...» Ο φορμαλισμός, σε πρώτη φάση, δέν είναι παρα η σκακιέρα των μαθηματικών· τίποτε παραπάνω, τίποτε λιγότερο. Και μιά και μιλάμε για διδασκαλία, μεταξύ άλλων, άς ρωτήσουμε δασκάλους του σκακιού αν ένα παιδί θα μάθει καλύτερο σκάκι αποφεύγοντας συστηματικά το παίξιμο πάνω στη σκακιέρα.

Άς ηρεμήσουμε λοιπόν, άς σταματήσουμε τους Μάνογουορ που παίζουνε στερεοφωνικά, κι' άς δούμε τις φόρμουλές μας ψύχραιμα.

«Αποδείξεις και τύποι»

Ξεκινάμε με τον Ζιράρ. Όχι γιατί ο Ζιράρ κι εγώ δε ξέρω τί, απλά, έκατσε εδώ και δυό-τρεις μέρες και βρήκα καλή αφορμή (έχω να γράψω ένα σχετικό ριβιού) να πιάσω επιτέλους σοβαρά το [Girard et al 1989]. Τον τύπο τον έχω αποφύγει ολ' αυτά τα χρόνια, κυρίως απο τεμπελιά, αλλα και κάτι λόγω δυσανεξίας στη γνωστή και γραφική πλέον γαλλιά –ξές, αυτός ο γλωσσικός εθνάρεσκος αυτοαποκλεισμός που θυμίζει ελληναριό: ιστοσελίδες αποκλειστικά στα γαλλικά, κιτσάτοι γαλλισμοί σε αγγλικά κείμενα, και άλλες τέτοιες καγκουριές.

Ε λοιπόν, παρά τις γαλλιές το βιβλίο διαβάζεται νεράκι. Αφενός γιατί δέ χάνεται στις λεπτομέρειες, κι αφετέρου λόγω γαλλιάς καλώς εννοούμενης: ο Ζιράρ τό 'χει με το μπλαμπλά, και δέν εχει πέσει και στη λούμπα της πολιτικής ορθότητας που μαστίζει το σινάφι απ' άκρη σ' άκρη. Γουστάρεις να τον διαβάζεις κι ας μή συμφωνείς. Ο συνδυασμός αυτών των δύο πάντως είναι επικίνδυνος: μπορεί κανείς να το ξεφυλλίσει σε μεγάλο βαθμό, παραλείποντας κάθε απόδειξη, και στο τέλος, χωρίς να έχει σκοντάψει συχνά, να έχει την αίσθηση οτι κάτι έκανε· στην πραγματικότητα, είναι πολύ πιθανό να έχει απλά αποκομίσει καναδυό τρία συνθήματα, που δέ θα μπορέσει να υποστηρίξει αν χρειαστεί. Αλλα εντάξει, αυτή ειναι η γνωστή ιδιοτροπία του καλογραμμένου μαθηματικού κειμένου, οτι διαβάζεται και σάν εφημερίδ' απο παιδί: μόνο τις γελοιογραφίες.